Résoudre sqrt{2-x}=x-1

$$\sqrt { 2 - x } = x - 1$$

Calculer x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{2-x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{2-x} à la puissance 2 et obtenir 2-x.

$$2-x=\left(x-1\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-1\right)^{2}.

$$2-x=x^{2}-2x+1$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$2-x-x^{2}=-2x+1$$

Ajouter 2x aux deux côtés.

$$2-x-x^{2}+2x=1$$

Combiner -x et 2x pour obtenir x.

$$2+x-x^{2}=1$$

Soustraire 1 des deux côtés.

$$2+x-x^{2}-1=0$$

Soustraire 1 de 2 pour obtenir 1.

$$1+x-x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -1 à a, 1 à b et 1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Calculer le carré de 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier -4 par -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Additionner 1 et 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 2 par -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} lorsque ± est positif. Additionner -1 et \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Diviser -1+\sqrt{5} par -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} lorsque ± est négatif. Soustraire \sqrt{5} à -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Diviser -1-\sqrt{5} par -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Remplacez x par \frac{1-\sqrt{5}}{2} dans l’équation \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}-1$$

Simplifier. La valeur x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} ne satisfait pas l’équation car le côté gauche et le côté droit ont des signes opposés.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Remplacez x par \frac{\sqrt{5}+1}{2} dans l’équation \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{\sqrt{5}+1}{2}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1$$

Simplifier. La valeur x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} satisfait à l’équation.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}$$

L’équation \sqrt{2-x}=x-1 a une solution unique.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$