Résoudre sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

Calculer x

$$x=\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3,16227766$$

Étapes de la solution

Soustraire -\sqrt{19-x^{2}} des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{15+x^{2}} à la puissance 2 et obtenir 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{19-x^{2}} à la puissance 2 et obtenir 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

Additionner 4 et 19 pour obtenir 23.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Soustraire 23-x^{2} des deux côtés de l’équation.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Pour trouver l’opposé de 23-x^{2}, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Soustraire 23 de 15 pour obtenir -8.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Combiner x^{2} et x^{2} pour obtenir 2x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(-8+2x^{2}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Pour élever une puissance à une autre puissance, multipliez les exposants. Multipliez 2 par 2 pour obtenir 4.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Étendre \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Calculer 4 à la puissance 2 et obtenir 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{19-x^{2}} à la puissance 2 et obtenir 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 16 par 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Soustraire 304 des deux côtés.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

Soustraire 304 de 64 pour obtenir -240.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Ajouter 16x^{2} aux deux côtés.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

Combiner -32x^{2} et 16x^{2} pour obtenir -16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

Substituer t pour x^{2}.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 4 pour a, -16 pour b et -240 pour c dans la formule quadratique.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Effectuer les calculs.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

Résoudre l’équation t=\frac{16±64}{8} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$t=10 t=-6$$

Depuis x=t^{2}, les solutions sont obtenues en évaluant x=±\sqrt{t} pour des t positives.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

Remplacez x par \sqrt{10} dans l’équation \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Simplifier. La valeur x=\sqrt{10} satisfait à l’équation.

$$2=2$$

Remplacez x par -\sqrt{10} dans l’équation \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Simplifier. La valeur x=-\sqrt{10} satisfait à l’équation.

$$2=2$$

Répertoriez toutes les solutions de \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$