Résoudre sqrt{1-2x/3}=x+5

$$\sqrt { 1 - \frac { 2 x } { 3 } } = x + 5$$

Calculer x

$$x=\frac{2\left(\sqrt{10}-8\right)}{3}\approx -3,225148227$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{1-\frac{2x}{3}}\right)^{2}=\left(x+5\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{1-\frac{2x}{3}} à la puissance 2 et obtenir 1-\frac{2x}{3}.

$$1-\frac{2x}{3}=\left(x+5\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+5\right)^{2}.

$$1-\frac{2x}{3}=x^{2}+10x+25$$

Multiplier les deux côtés de l’équation par 3.

$$3-2x=3x^{2}+30x+75$$

Soustraire 3x^{2} des deux côtés.

$$3-2x-3x^{2}=30x+75$$

Soustraire 30x des deux côtés.

$$3-2x-3x^{2}-30x=75$$

Combiner -2x et -30x pour obtenir -32x.

$$3-32x-3x^{2}=75$$

Soustraire 75 des deux côtés.

$$3-32x-3x^{2}-75=0$$

Soustraire 75 de 3 pour obtenir -72.

$$-72-32x-3x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-3x^{2}-32x-72=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -3 à a, -32 à b et -72 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\left(-3\right)\left(-72\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Calculer le carré de -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\left(-3\right)\left(-72\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplier -4 par -3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+12\left(-72\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplier 12 par -72.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-864}}{2\left(-3\right)}$$

Additionner 1024 et -864.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{160}}{2\left(-3\right)}$$

Extraire la racine carrée de 160.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4\sqrt{10}}{2\left(-3\right)}$$

L’inverse de -32 est 32.

$$x=\frac{32±4\sqrt{10}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplier 2 par -3.

$$x=\frac{32±4\sqrt{10}}{-6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{32±4\sqrt{10}}{-6} lorsque ± est positif. Additionner 32 et 4\sqrt{10}.

$$x=\frac{4\sqrt{10}+32}{-6}$$

Diviser 32+4\sqrt{10} par -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-16}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{32±4\sqrt{10}}{-6} lorsque ± est négatif. Soustraire 4\sqrt{10} à 32.

$$x=\frac{32-4\sqrt{10}}{-6}$$

Diviser 32-4\sqrt{10} par -6.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-16}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-16}{3} x=\frac{2\sqrt{10}-16}{3}$$

Remplacez x par \frac{-2\sqrt{10}-16}{3} dans l’équation \sqrt{1-\frac{2x}{3}}=x+5.

$$\sqrt{1-\frac{2\times \frac{-2\sqrt{10}-16}{3}}{3}}=\frac{-2\sqrt{10}-16}{3}+5$$

Simplifier. La valeur x=\frac{-2\sqrt{10}-16}{3} ne satisfait pas l’équation car le côté gauche et le côté droit ont des signes opposés.

$$\frac{2}{3}\times 10^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}\times 10^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{3}$$

Remplacez x par \frac{2\sqrt{10}-16}{3} dans l’équation \sqrt{1-\frac{2x}{3}}=x+5.

$$\sqrt{1-\frac{2\times \frac{2\sqrt{10}-16}{3}}{3}}=\frac{2\sqrt{10}-16}{3}+5$$

Simplifier. La valeur x=\frac{2\sqrt{10}-16}{3} satisfait à l’équation.

$$\frac{2}{3}\times 10^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\times 10^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{3}$$

L’équation \sqrt{-\frac{2x}{3}+1}=x+5 a une solution unique.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-16}{3}$$