Résoudre sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}=sqrt{(x-(-2))^2+(y-4)^2}

$$\sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 2 ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( x - ( - 2 ) ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } }$$

Calculer x

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Additionner 4 et 4 pour obtenir 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} à la puissance 2 et obtenir x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

L’inverse de -2 est 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Additionner 4 et 16 pour obtenir 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} à la puissance 2 et obtenir x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-x^{2}=4x+20+y^{2}-8y$$

Combiner x^{2} et -x^{2} pour obtenir 0.

$$-4x+8+y^{2}-4y=4x+20+y^{2}-8y$$

Soustraire 4x des deux côtés.

$$-4x+8+y^{2}-4y-4x=20+y^{2}-8y$$

Combiner -4x et -4x pour obtenir -8x.

$$-8x+8+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y$$

Soustraire 8 des deux côtés.

$$-8x+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y-8$$

Soustraire 8 de 20 pour obtenir 12.

$$-8x+y^{2}-4y=12+y^{2}-8y$$

Soustraire y^{2} des deux côtés.

$$-8x-4y=12+y^{2}-8y-y^{2}$$

Combiner y^{2} et -y^{2} pour obtenir 0.

$$-8x-4y=12-8y$$

Ajouter 4y aux deux côtés.

$$-8x=12-8y+4y$$

Combiner -8y et 4y pour obtenir -4y.

$$-8x=12-4y$$

Divisez les deux côtés par -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{12-4y}{-8}$$

La division par -8 annule la multiplication par -8.

$$x=\frac{12-4y}{-8}$$

Diviser 12-4y par -8.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Remplacez x par \frac{y-3}{2} dans l’équation \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}$$

Simplifier. La valeur x=\frac{y-3}{2} satisfait à l’équation.

$$\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

L’équation \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} a une solution unique.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Calculer y

$$y=2x+3$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Additionner 4 et 4 pour obtenir 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} à la puissance 2 et obtenir x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

L’inverse de -2 est 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Additionner 4 et 16 pour obtenir 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} à la puissance 2 et obtenir x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Soustraire y^{2} des deux côtés.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-y^{2}=x^{2}+4x+20-8y$$

Combiner y^{2} et -y^{2} pour obtenir 0.

$$x^{2}-4x+8-4y=x^{2}+4x+20-8y$$

Ajouter 8y aux deux côtés.

$$x^{2}-4x+8-4y+8y=x^{2}+4x+20$$

Combiner -4y et 8y pour obtenir 4y.

$$x^{2}-4x+8+4y=x^{2}+4x+20$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$-4x+8+4y=x^{2}+4x+20-x^{2}$$

Combiner x^{2} et -x^{2} pour obtenir 0.

$$-4x+8+4y=4x+20$$

Ajouter 4x aux deux côtés.

$$8+4y=4x+20+4x$$

Combiner 4x et 4x pour obtenir 8x.

$$8+4y=8x+20$$

Soustraire 8 des deux côtés.

$$4y=8x+20-8$$

Soustraire 8 de 20 pour obtenir 12.

$$4y=8x+12$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4y}{4}=\frac{8x+12}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$y=\frac{8x+12}{4}$$

Diviser 8x+12 par 4.

$$y=2x+3$$

Remplacez y par 2x+3 dans l’équation \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(2x+3-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(2x+3-4\right)^{2}}$$

Simplifier. La valeur y=2x+3 satisfait à l’équation.

$$\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

L’équation \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} a une solution unique.

$$y=2x+3$$