Résoudre sqrt{(7-x)^2+(1-y)^2}=sqrt{(3-x)^2+(5-y)^2}

$$\sqrt { ( 7 - x ) ^ { 2 } + ( 1 - y ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( 3 - x ) ^ { 2 } + ( 5 - y ) ^ { 2 } }$$

Calculer x

$$x=y+2$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(7-x\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(1-y\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Additionner 49 et 1 pour obtenir 50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} à la puissance 2 et obtenir 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(3-x\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(5-y\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Additionner 9 et 25 pour obtenir 34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} à la puissance 2 et obtenir 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

Ajouter 6x aux deux côtés.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+6x=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

Combiner -14x et 6x pour obtenir -8x.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}-x^{2}=34-10y+y^{2}$$

Combiner x^{2} et -x^{2} pour obtenir 0.

$$50-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}$$

Soustraire 50 des deux côtés.

$$-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}-50$$

Soustraire 50 de 34 pour obtenir -16.

$$-8x-2y+y^{2}=-16-10y+y^{2}$$

Ajouter 2y aux deux côtés.

$$-8x+y^{2}=-16-10y+y^{2}+2y$$

Combiner -10y et 2y pour obtenir -8y.

$$-8x+y^{2}=-16-8y+y^{2}$$

Soustraire y^{2} des deux côtés.

$$-8x=-16-8y+y^{2}-y^{2}$$

Combiner y^{2} et -y^{2} pour obtenir 0.

$$-8x=-16-8y$$

L’équation utilise le format standard.

$$-8x=-8y-16$$

Divisez les deux côtés par -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{-8y-16}{-8}$$

La division par -8 annule la multiplication par -8.

$$x=\frac{-8y-16}{-8}$$

Diviser -16-8y par -8.

$$x=y+2$$

Remplacez x par y+2 dans l’équation \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}$$

Simplifier. La valeur x=y+2 satisfait à l’équation.

$$\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}$$

L’équation \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} a une solution unique.

$$x=y+2$$

Calculer y

$$y=x-2$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(7-x\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(1-y\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Additionner 49 et 1 pour obtenir 50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} à la puissance 2 et obtenir 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(3-x\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(5-y\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Additionner 9 et 25 pour obtenir 34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} à la puissance 2 et obtenir 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

Ajouter 10y aux deux côtés.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+10y=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

Combiner -2y et 10y pour obtenir 8y.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

Soustraire y^{2} des deux côtés.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}-y^{2}=34-6x+x^{2}$$

Combiner y^{2} et -y^{2} pour obtenir 0.

$$50-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}$$

Soustraire 50 des deux côtés.

$$-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}-50$$

Soustraire 50 de 34 pour obtenir -16.

$$-14x+x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}$$

Ajouter 14x aux deux côtés.

$$x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}+14x$$

Combiner -6x et 14x pour obtenir 8x.

$$x^{2}+8y=-16+8x+x^{2}$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$8y=-16+8x+x^{2}-x^{2}$$

Combiner x^{2} et -x^{2} pour obtenir 0.

$$8y=-16+8x$$

L’équation utilise le format standard.

$$8y=8x-16$$

Divisez les deux côtés par 8.

$$\frac{8y}{8}=\frac{8x-16}{8}$$

La division par 8 annule la multiplication par 8.

$$y=\frac{8x-16}{8}$$

Diviser -16+8x par 8.

$$y=x-2$$

Remplacez y par x-2 dans l’équation \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-\left(x-2\right)\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-\left(x-2\right)\right)^{2}}$$

Simplifier. La valeur y=x-2 satisfait à l’équation.

$$\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}$$

L’équation \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} a une solution unique.

$$y=x-2$$