Résoudre quad15x^2+23x-28=0

$$\quad 15 x ^ { 2 } + 23 x - 28 = 0$$

Calculer x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 15x^{2}+ax+bx-28. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=23 ab=15\left(-28\right)=-420$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -420.

$$-1,420 -2,210 -3,140 -4,105 -5,84 -6,70 -7,60 -10,42 -12,35 -14,30 -15,28 -20,21$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+420=419 -2+210=208 -3+140=137 -4+105=101 -5+84=79 -6+70=64 -7+60=53 -10+42=32 -12+35=23 -14+30=16 -15+28=13 -20+21=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 23.

$$a=-12 b=35$$

Réécrire 15x^{2}+23x-28 en tant qu’\left(15x^{2}-12x\right)+\left(35x-28\right).

$$\left(15x^{2}-12x\right)+\left(35x-28\right)$$

Factorisez 3x du premier et 7 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(5x-4\right)+7\left(5x-4\right)$$

Factoriser le facteur commun 5x-4 en utilisant la distributivité.

$$\left(5x-4\right)\left(3x+7\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 5x-4=0 et 3x+7=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{7}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$15x^{2}+23x-28=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 15 à a, 23 à b et -28 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 15\left(-28\right)}}{2\times 15}$$

Calculer le carré de 23.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 15\left(-28\right)}}{2\times 15}$$

Multiplier -4 par 15.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-60\left(-28\right)}}{2\times 15}$$

Multiplier -60 par -28.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+1680}}{2\times 15}$$

Additionner 529 et 1680.

$$x=\frac{-23±\sqrt{2209}}{2\times 15}$$

Extraire la racine carrée de 2209.

$$x=\frac{-23±47}{2\times 15}$$

Multiplier 2 par 15.

$$x=\frac{-23±47}{30}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-23±47}{30} lorsque ± est positif. Additionner -23 et 47.

$$x=\frac{24}{30}$$

Réduire la fraction \frac{24}{30} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=\frac{4}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-23±47}{30} lorsque ± est négatif. Soustraire 47 à -23.

$$x=-\frac{70}{30}$$

Réduire la fraction \frac{-70}{30} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$x=-\frac{7}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{7}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+23x-28=0$$

Ajouter 28 aux deux côtés de l’équation.

$$15x^{2}+23x-28-\left(-28\right)=-\left(-28\right)$$

La soustraction de -28 de lui-même donne 0.

$$15x^{2}+23x=-\left(-28\right)$$

Soustraire -28 à 0.

$$15x^{2}+23x=28$$

Divisez les deux côtés par 15.

$$\frac{15x^{2}+23x}{15}=\frac{28}{15}$$

La division par 15 annule la multiplication par 15.

$$x^{2}+\frac{23}{15}x=\frac{28}{15}$$

Divisez \frac{23}{15}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{23}{30}. Ajouter ensuite le carré de \frac{23}{30} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{23}{15}x+\left(\frac{23}{30}\right)^{2}=\frac{28}{15}+\left(\frac{23}{30}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{23}{30} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{23}{15}x+\frac{529}{900}=\frac{28}{15}+\frac{529}{900}$$

Additionner \frac{28}{15} et \frac{529}{900} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{23}{15}x+\frac{529}{900}=\frac{2209}{900}$$

Factor x^{2}+\frac{23}{15}x+\frac{529}{900}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{23}{30}\right)^{2}=\frac{2209}{900}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{900}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{23}{30}=\frac{47}{30} x+\frac{23}{30}=-\frac{47}{30}$$

Soustraire \frac{23}{30} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{7}{3}$$