Résoudre {l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

Calculer x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Examinez la première équation. Utiliser la distributivité pour multiplier 3 par 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Additionner 3 et 1 pour obtenir 4.

$$x+2y=4+3y$$

Soustraire 3y des deux côtés.

$$x+2y-3y=4$$

Combiner 2y et -3y pour obtenir -y.

$$x-y=4$$

Examinez la deuxième équation. Utiliser la distributivité pour multiplier 2 par 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Ajouter 2y aux deux côtés.

$$8-y+2y=2+3x$$

Combiner -y et 2y pour obtenir y.

$$8+y=2+3x$$

Soustraire 3x des deux côtés.

$$8+y-3x=2$$

Soustraire 8 des deux côtés.

$$y-3x=2-8$$

Soustraire 8 de 2 pour obtenir -6.

$$y-3x=-6$$

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Choisissez une des équations et résolvez-la pour x en isolant x du côté gauche du signe égal.

$$x-y=4$$

Ajouter y aux deux côtés de l’équation.

$$x=y+4$$

Substituer y+4 par x dans l’autre équation, -3x+y=-6.

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

Multiplier -3 par y+4.

$$-3y-12+y=-6$$

Additionner -3y et y.

$$-2y-12=-6$$

Ajouter 12 aux deux côtés de l’équation.

$$-2y=6$$

Divisez les deux côtés par -2.

$$y=-3$$

Substituer -3 à y dans x=y+4. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$x=-3+4$$

Additionner 4 et -3.

$$x=1$$

Le système est désormais résolu.

$$x=1,y=-3$$

Étapes d’utilisation des matrices

Examinez la première équation. Utiliser la distributivité pour multiplier 3 par 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Additionner 3 et 1 pour obtenir 4.

$$x+2y=4+3y$$

Soustraire 3y des deux côtés.

$$x+2y-3y=4$$

Combiner 2y et -3y pour obtenir -y.

$$x-y=4$$

Examinez la deuxième équation. Utiliser la distributivité pour multiplier 2 par 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Ajouter 2y aux deux côtés.

$$8-y+2y=2+3x$$

Combiner -y et 2y pour obtenir y.

$$8+y=2+3x$$

Soustraire 3x des deux côtés.

$$8+y-3x=2$$

Soustraire 8 des deux côtés.

$$y-3x=2-8$$

Soustraire 8 de 2 pour obtenir -6.

$$y-3x=-6$$

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), aussi l’équation de la matrice peut être réécrite sous la forme d’un problème de multiplication de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice x et y.

$$x=1,y=-3$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Examinez la première équation. Utiliser la distributivité pour multiplier 3 par 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Additionner 3 et 1 pour obtenir 4.

$$x+2y=4+3y$$

Soustraire 3y des deux côtés.

$$x+2y-3y=4$$

Combiner 2y et -3y pour obtenir -y.

$$x-y=4$$

Examinez la deuxième équation. Utiliser la distributivité pour multiplier 2 par 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Ajouter 2y aux deux côtés.

$$8-y+2y=2+3x$$

Combiner -y et 2y pour obtenir y.

$$8+y=2+3x$$

Soustraire 3x des deux côtés.

$$8+y-3x=2$$

Soustraire 8 des deux côtés.

$$y-3x=2-8$$

Soustraire 8 de 2 pour obtenir -6.

$$y-3x=-6$$

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Pour rendre x et -3x égaux, multipliez tous les termes de chaque côté de la première équation par -3 et tous les termes de chaque côté de la seconde équation par 1.

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

Simplifier.

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

Soustraire -3x+y=-6 de -3x+3y=-12 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

Additionner -3x et 3x. Les termes -3x et 3x s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$3y-y=-12+6$$

Additionner 3y et -y.

$$2y=-12+6$$

Additionner -12 et 6.

$$2y=-6$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$y=-3$$

Substituer -3 à y dans -3x+y=-6. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$-3x-3=-6$$

Ajouter 3 aux deux côtés de l’équation.

$$-3x=-3$$

Divisez les deux côtés par -3.

$$x=1$$

Le système est désormais résolu.

$$x=1,y=-3$$