Résoudre {l}{y=-x}{y=2x+6}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x } \\ { y = 2 x + 6 } \end{array} \right.$$

Calculer y, x

$$x=-2$$

$$y=2$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Examinez la première équation. Ajouter x aux deux côtés.

$$y+x=0$$

Examinez la deuxième équation. Soustraire 2x des deux côtés.

$$y-2x=6$$

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Choisissez une des équations et résolvez-la pour y en isolant y du côté gauche du signe égal.

$$y+x=0$$

Soustraire x des deux côtés de l’équation.

$$y=-x$$

Substituer -x par y dans l’autre équation, y-2x=6.

$$-x-2x=6$$

Additionner -x et -2x.

$$-3x=6$$

Divisez les deux côtés par -3.

$$x=-2$$

Substituer -2 à x dans y=-x. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer y directement.

$$y=-\left(-2\right)$$

Multiplier -1 par -2.

$$y=2$$

Le système est désormais résolu.

$$y=2,x=-2$$

Étapes d’utilisation des matrices

Examinez la première équation. Ajouter x aux deux côtés.

$$y+x=0$$

Examinez la deuxième équation. Soustraire 2x des deux côtés.

$$y-2x=6$$

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), aussi l’équation de la matrice peut être réécrite sous la forme d’un problème de multiplication de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6\\-\frac{1}{3}\times 6\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice y et x.

$$y=2,x=-2$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Examinez la première équation. Ajouter x aux deux côtés.

$$y+x=0$$

Examinez la deuxième équation. Soustraire 2x des deux côtés.

$$y-2x=6$$

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Soustraire y-2x=6 de y+x=0 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$y-y+x+2x=-6$$

Additionner y et -y. Les termes y et -y s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$x+2x=-6$$

Additionner x et 2x.

$$3x=-6$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$x=-2$$

Substituer -2 à x dans y-2x=6. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer y directement.

$$y-2\left(-2\right)=6$$

Multiplier -2 par -2.

$$y+4=6$$

Soustraire 4 des deux côtés de l’équation.

$$y=2$$

Le système est désormais résolu.

$$y=2,x=-2$$