Résoudre {l}{x-3=y}{37-3x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 = y } \\ { 37 - 3 x = y } \end{array} \right.$$

Calculer x, y

$$x=10$$

$$y=7$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Examinez la première équation. Soustraire y des deux côtés.

$$x-3-y=0$$

Ajouter 3 aux deux côtés. Une valeur plus zéro donne la même valeur.

$$x-y=3$$

Examinez la deuxième équation. Soustraire y des deux côtés.

$$37-3x-y=0$$

Soustraire 37 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$-3x-y=-37$$

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Choisissez une des équations et résolvez-la pour x en isolant x du côté gauche du signe égal.

$$x-y=3$$

Ajouter y aux deux côtés de l’équation.

$$x=y+3$$

Substituer y+3 par x dans l’autre équation, -3x-y=-37.

$$-3\left(y+3\right)-y=-37$$

Multiplier -3 par y+3.

$$-3y-9-y=-37$$

Additionner -3y et -y.

$$-4y-9=-37$$

Ajouter 9 aux deux côtés de l’équation.

$$-4y=-28$$

Divisez les deux côtés par -4.

$$y=7$$

Substituer 7 à y dans x=y+3. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$x=7+3$$

Additionner 3 et 7.

$$x=10$$

Le système est désormais résolu.

$$x=10,y=7$$

Étapes d’utilisation des matrices

Examinez la première équation. Soustraire y des deux côtés.

$$x-3-y=0$$

Ajouter 3 aux deux côtés. Une valeur plus zéro donne la même valeur.

$$x-y=3$$

Examinez la deuxième équation. Soustraire y des deux côtés.

$$37-3x-y=0$$

Soustraire 37 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$-3x-y=-37$$

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), aussi l’équation de la matrice peut être réécrite sous la forme d’un problème de multiplication de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\\-\frac{3}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice x et y.

$$x=10,y=7$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Examinez la première équation. Soustraire y des deux côtés.

$$x-3-y=0$$

Ajouter 3 aux deux côtés. Une valeur plus zéro donne la même valeur.

$$x-y=3$$

Examinez la deuxième équation. Soustraire y des deux côtés.

$$37-3x-y=0$$

Soustraire 37 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$-3x-y=-37$$

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Soustraire -3x-y=-37 de x-y=3 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$x+3x-y+y=3+37$$

Additionner -y et y. Les termes -y et y s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$x+3x=3+37$$

Additionner x et 3x.

$$4x=3+37$$

Additionner 3 et 37.

$$4x=40$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$x=10$$

Substituer 10 à x dans -3x-y=-37. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer y directement.

$$-3\times 10-y=-37$$

Multiplier -3 par 10.

$$-30-y=-37$$

Ajouter 30 aux deux côtés de l’équation.

$$-y=-7$$

Divisez les deux côtés par -1.

$$y=7$$

Le système est désormais résolu.

$$x=10,y=7$$