Résoudre {l}{x+y=90}{x+36=3y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 90 } \\ { x + 36 = 3 y } \end{array} \right.$$

Calculer x, y

$$x = \frac{117}{2} = 58\frac{1}{2} = 58.5$$

$$y = \frac{63}{2} = 31\frac{1}{2} = 31.5$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Examinez la deuxième équation. Soustraire 3y des deux côtés.

$$x+36-3y=0$$

Soustraire 36 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$x-3y=-36$$

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Choisissez une des équations et résolvez-la pour x en isolant x du côté gauche du signe égal.

$$x+y=90$$

Soustraire y des deux côtés de l’équation.

$$x=-y+90$$

Substituer -y+90 par x dans l’autre équation, x-3y=-36.

$$-y+90-3y=-36$$

Additionner -y et -3y.

$$-4y+90=-36$$

Soustraire 90 des deux côtés de l’équation.

$$-4y=-126$$

Divisez les deux côtés par -4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Substituer \frac{63}{2} à y dans x=-y+90. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$x=-\frac{63}{2}+90$$

Additionner 90 et -\frac{63}{2}.

$$x=\frac{117}{2}$$

Le système est désormais résolu.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Étapes d’utilisation des matrices

Examinez la deuxième équation. Soustraire 3y des deux côtés.

$$x+36-3y=0$$

Soustraire 36 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$x-3y=-36$$

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), aussi l’équation de la matrice peut être réécrite sous la forme d’un problème de multiplication de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 90+\frac{1}{4}\left(-36\right)\\\frac{1}{4}\times 90-\frac{1}{4}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{117}{2}\\\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice x et y.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Examinez la deuxième équation. Soustraire 3y des deux côtés.

$$x+36-3y=0$$

Soustraire 36 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$x-3y=-36$$

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Soustraire x-3y=-36 de x+y=90 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$x-x+y+3y=90+36$$

Additionner x et -x. Les termes x et -x s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$y+3y=90+36$$

Additionner y et 3y.

$$4y=90+36$$

Additionner 90 et 36.

$$4y=126$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Substituer \frac{63}{2} à y dans x-3y=-36. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$x-3\times \frac{63}{2}=-36$$

Multiplier -3 par \frac{63}{2}.

$$x-\frac{189}{2}=-36$$

Ajouter \frac{189}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{117}{2}$$

Le système est désormais résolu.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$