Résoudre {l}{x+y=1}{3x+y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 1 } \\ { 3 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

Calculer x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$x+y=1,3x+y=5$$

Choisissez une des équations et résolvez-la pour x en isolant x du côté gauche du signe égal.

$$x+y=1$$

Soustraire y des deux côtés de l’équation.

$$x=-y+1$$

Substituer -y+1 par x dans l’autre équation, 3x+y=5.

$$3\left(-y+1\right)+y=5$$

Multiplier 3 par -y+1.

$$-3y+3+y=5$$

Additionner -3y et y.

$$-2y+3=5$$

Soustraire 3 des deux côtés de l’équation.

$$-2y=2$$

Divisez les deux côtés par -2.

$$y=-1$$

Substituer -1 à y dans x=-y+1. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$x=-\left(-1\right)+1$$

Multiplier -1 par -1.

$$x=1+1$$

Additionner 1 et 1.

$$x=2$$

Le système est désormais résolu.

$$x=2,y=-1$$

Étapes d’utilisation des matrices

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$x+y=1,3x+y=5$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), aussi l’équation de la matrice peut être réécrite sous la forme d’un problème de multiplication de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3}&-\frac{1}{1-3}\\-\frac{3}{1-3}&\frac{1}{1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5\\\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice x et y.

$$x=2,y=-1$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$x+y=1,3x+y=5$$

Soustraire 3x+y=5 de x+y=1 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$x-3x+y-y=1-5$$

Additionner y et -y. Les termes y et -y s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$x-3x=1-5$$

Additionner x et -3x.

$$-2x=1-5$$

Additionner 1 et -5.

$$-2x=-4$$

Divisez les deux côtés par -2.

$$x=2$$

Substituer 2 à x dans 3x+y=5. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer y directement.

$$3\times 2+y=5$$

Multiplier 3 par 2.

$$6+y=5$$

Soustraire 6 des deux côtés de l’équation.

$$y=-1$$

Le système est désormais résolu.

$$x=2,y=-1$$