Résoudre {l}{x+15=y}{4x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 15 = y } \\ { 4 x = y } \end{array} \right.$$

Calculer x, y

$$x=5$$

$$y=20$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Examinez la première équation. Soustraire y des deux côtés.

$$x+15-y=0$$

Soustraire 15 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$x-y=-15$$

Examinez la deuxième équation. Soustraire y des deux côtés.

$$4x-y=0$$

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Choisissez une des équations et résolvez-la pour x en isolant x du côté gauche du signe égal.

$$x-y=-15$$

Ajouter y aux deux côtés de l’équation.

$$x=y-15$$

Substituer y-15 par x dans l’autre équation, 4x-y=0.

$$4\left(y-15\right)-y=0$$

Multiplier 4 par y-15.

$$4y-60-y=0$$

Additionner 4y et -y.

$$3y-60=0$$

Ajouter 60 aux deux côtés de l’équation.

$$3y=60$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$y=20$$

Substituer 20 à y dans x=y-15. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$x=20-15$$

Additionner -15 et 20.

$$x=5$$

Le système est désormais résolu.

$$x=5,y=20$$

Étapes d’utilisation des matrices

Examinez la première équation. Soustraire y des deux côtés.

$$x+15-y=0$$

Soustraire 15 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$x-y=-15$$

Examinez la deuxième équation. Soustraire y des deux côtés.

$$4x-y=0$$

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), aussi l’équation de la matrice peut être réécrite sous la forme d’un problème de multiplication de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-1-\left(-4\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-15\right)\\-\frac{4}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice x et y.

$$x=5,y=20$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Examinez la première équation. Soustraire y des deux côtés.

$$x+15-y=0$$

Soustraire 15 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$x-y=-15$$

Examinez la deuxième équation. Soustraire y des deux côtés.

$$4x-y=0$$

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Soustraire 4x-y=0 de x-y=-15 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$x-4x-y+y=-15$$

Additionner -y et y. Les termes -y et y s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$x-4x=-15$$

Additionner x et -4x.

$$-3x=-15$$

Divisez les deux côtés par -3.

$$x=5$$

Substituer 5 à x dans 4x-y=0. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer y directement.

$$4\times 5-y=0$$

Multiplier 4 par 5.

$$20-y=0$$

Soustraire 20 des deux côtés de l’équation.

$$-y=-20$$

Divisez les deux côtés par -1.

$$y=20$$

Le système est désormais résolu.

$$x=5,y=20$$