Résoudre {l}{5x+y=9}{10x-7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9 } \\ { 10 x - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Calculer x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Choisissez une des équations et résolvez-la pour x en isolant x du côté gauche du signe égal.

$$5x+y=9$$

Soustraire y des deux côtés de l’équation.

$$5x=-y+9$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9\right)$$

Multiplier \frac{1}{5} par -y+9.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}$$

Substituer \frac{-y+9}{5} par x dans l’autre équation, 10x-7y=-18.

$$10\left(-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}\right)-7y=-18$$

Multiplier 10 par \frac{-y+9}{5}.

$$-2y+18-7y=-18$$

Additionner -2y et -7y.

$$-9y+18=-18$$

Soustraire 18 des deux côtés de l’équation.

$$-9y=-36$$

Divisez les deux côtés par -9.

$$y=4$$

Substituer 4 à y dans x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$x=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{9}{5}$$

Multiplier -\frac{1}{5} par 4.

$$x=\frac{-4+9}{5}$$

Additionner \frac{9}{5} et -\frac{4}{5} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x=1$$

Le système est désormais résolu.

$$x=1,y=4$$

Étapes d’utilisation des matrices

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), aussi l’équation de la matrice peut être réécrite sous la forme d’un problème de multiplication de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5\left(-7\right)-10}&-\frac{1}{5\left(-7\right)-10}\\-\frac{10}{5\left(-7\right)-10}&\frac{5}{5\left(-7\right)-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}&\frac{1}{45}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}\times 9+\frac{1}{45}\left(-18\right)\\\frac{2}{9}\times 9-\frac{1}{9}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice x et y.

$$x=1,y=4$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Pour rendre 5x et 10x égaux, multipliez tous les termes de chaque côté de la première équation par 10 et tous les termes de chaque côté de la seconde équation par 5.

$$10\times 5x+10y=10\times 9,5\times 10x+5\left(-7\right)y=5\left(-18\right)$$

Simplifier.

$$50x+10y=90,50x-35y=-90$$

Soustraire 50x-35y=-90 de 50x+10y=90 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$50x-50x+10y+35y=90+90$$

Additionner 50x et -50x. Les termes 50x et -50x s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$10y+35y=90+90$$

Additionner 10y et 35y.

$$45y=90+90$$

Additionner 90 et 90.

$$45y=180$$

Divisez les deux côtés par 45.

$$y=4$$

Substituer 4 à y dans 10x-7y=-18. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$10x-7\times 4=-18$$

Multiplier -7 par 4.

$$10x-28=-18$$

Ajouter 28 aux deux côtés de l’équation.

$$10x=10$$

Divisez les deux côtés par 10.

$$x=1$$

Le système est désormais résolu.

$$x=1,y=4$$