Résoudre {l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

Calculer x_1, x_2

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Choisissez une des équations et résolvez-la pour x_{1} en isolant x_{1} du côté gauche du signe égal.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

Soustraire 3x_{2} des deux côtés de l’équation.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

Multiplier \frac{1}{2} par -3x_{2}+7.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

Substituer \frac{-3x_{2}+7}{2} par x_{1} dans l’autre équation, 4x_{1}-4x_{2}=-6.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

Multiplier 4 par \frac{-3x_{2}+7}{2}.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

Additionner -6x_{2} et -4x_{2}.

$$-10x_{2}+14=-6$$

Soustraire 14 des deux côtés de l’équation.

$$-10x_{2}=-20$$

Divisez les deux côtés par -10.

$$x_{2}=2$$

Substituer 2 à x_{2} dans x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x_{1} directement.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

Multiplier -\frac{3}{2} par 2.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

Additionner \frac{7}{2} et -3.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Le système est désormais résolu.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Étapes d’utilisation des matrices

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), aussi l’équation de la matrice peut être réécrite sous la forme d’un problème de multiplication de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice x_{1} et x_{2}.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Pour rendre 2x_{1} et 4x_{1} égaux, multipliez tous les termes de chaque côté de la première équation par 4 et tous les termes de chaque côté de la seconde équation par 2.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

Simplifier.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

Soustraire 8x_{1}-8x_{2}=-12 de 8x_{1}+12x_{2}=28 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Additionner 8x_{1} et -8x_{1}. Les termes 8x_{1} et -8x_{1} s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Additionner 12x_{2} et 8x_{2}.

$$20x_{2}=28+12$$

Additionner 28 et 12.

$$20x_{2}=40$$

Divisez les deux côtés par 20.

$$x_{2}=2$$

Substituer 2 à x_{2} dans 4x_{1}-4x_{2}=-6. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x_{1} directement.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

Multiplier -4 par 2.

$$4x_{1}-8=-6$$

Ajouter 8 aux deux côtés de l’équation.

$$4x_{1}=2$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Le système est désormais résolu.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$