Résoudre {l}{2x+y=-6}{y=7x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = 7 x + 3 } \end{array} \right.$$

Calculer x, y

$$x=-1$$

$$y=-4$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Examinez la deuxième équation. Soustraire 7x des deux côtés.

$$y-7x=3$$

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Choisissez une des équations et résolvez-la pour x en isolant x du côté gauche du signe égal.

$$2x+y=-6$$

Soustraire y des deux côtés de l’équation.

$$2x=-y-6$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

Multiplier \frac{1}{2} par -y-6.

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

Substituer -\frac{y}{2}-3 par x dans l’autre équation, -7x+y=3.

$$-7\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

Multiplier -7 par -\frac{y}{2}-3.

$$\frac{7}{2}y+21+y=3$$

Additionner \frac{7y}{2} et y.

$$\frac{9}{2}y+21=3$$

Soustraire 21 des deux côtés de l’équation.

$$\frac{9}{2}y=-18$$

Diviser les deux côtés de l’équation par \frac{9}{2}, ce qui revient à multiplier les deux côtés par la réciproque de la fraction.

$$y=-4$$

Substituer -4 à y dans x=-\frac{1}{2}y-3. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4\right)-3$$

Multiplier -\frac{1}{2} par -4.

$$x=2-3$$

Additionner -3 et 2.

$$x=-1$$

Le système est désormais résolu.

$$x=-1,y=-4$$

Étapes d’utilisation des matrices

Examinez la deuxième équation. Soustraire 7x des deux côtés.

$$y-7x=3$$

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), aussi l’équation de la matrice peut être réécrite sous la forme d’un problème de multiplication de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-7\right)}&-\frac{1}{2-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{2-\left(-7\right)}&\frac{2}{2-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\\\frac{7}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-6\right)-\frac{1}{9}\times 3\\\frac{7}{9}\left(-6\right)+\frac{2}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice x et y.

$$x=-1,y=-4$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Examinez la deuxième équation. Soustraire 7x des deux côtés.

$$y-7x=3$$

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Soustraire -7x+y=3 de 2x+y=-6 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$2x+7x+y-y=-6-3$$

Additionner y et -y. Les termes y et -y s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$2x+7x=-6-3$$

Additionner 2x et 7x.

$$9x=-6-3$$

Additionner -6 et -3.

$$9x=-9$$

Divisez les deux côtés par 9.

$$x=-1$$

Substituer -1 à x dans -7x+y=3. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer y directement.

$$-7\left(-1\right)+y=3$$

Multiplier -7 par -1.

$$7+y=3$$

Soustraire 7 des deux côtés de l’équation.

$$y=-4$$

Le système est désormais résolu.

$$x=-1,y=-4$$