Résoudre {l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

Calculer x, y

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Choisissez une des équations et résolvez-la pour x en isolant x du côté gauche du signe égal.

$$2x+5y=259$$

Soustraire 5y des deux côtés de l’équation.

$$2x=-5y+259$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

Multiplier \frac{1}{2} par -5y+259.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

Substituer \frac{-5y+259}{2} par x dans l’autre équation, 199x-2y=1127.

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

Multiplier 199 par \frac{-5y+259}{2}.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

Additionner -\frac{995y}{2} et -2y.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

Soustraire \frac{51541}{2} des deux côtés de l’équation.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

Diviser les deux côtés de l’équation par -\frac{999}{2}, ce qui revient à multiplier les deux côtés par la réciproque de la fraction.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Substituer \frac{16429}{333} à y dans x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

Multiplier -\frac{5}{2} par \frac{16429}{333} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

Additionner \frac{259}{2} et -\frac{82145}{666} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Le système est désormais résolu.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Étapes d’utilisation des matrices

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), aussi l’équation de la matrice peut être réécrite sous la forme d’un problème de multiplication de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice x et y.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Pour rendre 2x et 199x égaux, multipliez tous les termes de chaque côté de la première équation par 199 et tous les termes de chaque côté de la seconde équation par 2.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

Simplifier.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

Soustraire 398x-4y=2254 de 398x+995y=51541 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

Additionner 398x et -398x. Les termes 398x et -398x s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$995y+4y=51541-2254$$

Additionner 995y et 4y.

$$999y=51541-2254$$

Additionner 51541 et -2254.

$$999y=49287$$

Divisez les deux côtés par 999.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Substituer \frac{16429}{333} à y dans 199x-2y=1127. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

Multiplier -2 par \frac{16429}{333}.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

Ajouter \frac{32858}{333} aux deux côtés de l’équation.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

Divisez les deux côtés par 199.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Le système est désormais résolu.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$