Résoudre {l}{x/3-y/2=8}{x/5+y/3=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 3 } = 1 } \end{array} \right.$$

Calculer x, y

$$x=15$$

$$y=-6$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Examinez la première équation. Multipliez les deux côtés de l’équation par 6, le plus petit commun multiple de 3,2.

$$2x-3y=48$$

Examinez la deuxième équation. Multipliez les deux côtés de l’équation par 15, le plus petit commun multiple de 5,3.

$$3x+5y=15$$

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Choisissez une des équations et résolvez-la pour x en isolant x du côté gauche du signe égal.

$$2x-3y=48$$

Ajouter 3y aux deux côtés de l’équation.

$$2x=3y+48$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+48\right)$$

Multiplier \frac{1}{2} par 48+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+24$$

Substituer \frac{3y}{2}+24 par x dans l’autre équation, 3x+5y=15.

$$3\left(\frac{3}{2}y+24\right)+5y=15$$

Multiplier 3 par \frac{3y}{2}+24.

$$\frac{9}{2}y+72+5y=15$$

Additionner \frac{9y}{2} et 5y.

$$\frac{19}{2}y+72=15$$

Soustraire 72 des deux côtés de l’équation.

$$\frac{19}{2}y=-57$$

Diviser les deux côtés de l’équation par \frac{19}{2}, ce qui revient à multiplier les deux côtés par la réciproque de la fraction.

$$y=-6$$

Substituer -6 à y dans x=\frac{3}{2}y+24. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+24$$

Multiplier \frac{3}{2} par -6.

$$x=-9+24$$

Additionner 24 et -9.

$$x=15$$

Le système est désormais résolu.

$$x=15,y=-6$$

Étapes d’utilisation des matrices

Examinez la première équation. Multipliez les deux côtés de l’équation par 6, le plus petit commun multiple de 3,2.

$$2x-3y=48$$

Examinez la deuxième équation. Multipliez les deux côtés de l’équation par 15, le plus petit commun multiple de 5,3.

$$3x+5y=15$$

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), aussi l’équation de la matrice peut être réécrite sous la forme d’un problème de multiplication de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 48+\frac{3}{19}\times 15\\-\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-6\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice x et y.

$$x=15,y=-6$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Examinez la première équation. Multipliez les deux côtés de l’équation par 6, le plus petit commun multiple de 3,2.

$$2x-3y=48$$

Examinez la deuxième équation. Multipliez les deux côtés de l’équation par 15, le plus petit commun multiple de 5,3.

$$3x+5y=15$$

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Pour rendre 2x et 3x égaux, multipliez tous les termes de chaque côté de la première équation par 3 et tous les termes de chaque côté de la seconde équation par 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 48,2\times 3x+2\times 5y=2\times 15$$

Simplifier.

$$6x-9y=144,6x+10y=30$$

Soustraire 6x+10y=30 de 6x-9y=144 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$6x-6x-9y-10y=144-30$$

Additionner 6x et -6x. Les termes 6x et -6x s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$-9y-10y=144-30$$

Additionner -9y et -10y.

$$-19y=144-30$$

Additionner 144 et -30.

$$-19y=114$$

Divisez les deux côtés par -19.

$$y=-6$$

Substituer -6 à y dans 3x+5y=15. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$3x+5\left(-6\right)=15$$

Multiplier 5 par -6.

$$3x-30=15$$

Ajouter 30 aux deux côtés de l’équation.

$$3x=45$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$x=15$$

Le système est désormais résolu.

$$x=15,y=-6$$