Résoudre {l}{k/L=100}{5k+50L=110}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { k } { L } = 100 } \\ { 5 k + 50 L = 110 } \end{array} \right.$$

Calculer k, L

$$k=20$$

$$L=\frac{1}{5}=0.2$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Examinez la première équation. La variable L ne peut pas être égale à 0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multiplier les deux côtés de l’équation par L.

$$k=100L$$

Substituer 100L par k dans l’autre équation, 5k+50L=110.

$$5\times 100L+50L=110$$

Multiplier 5 par 100L.

$$500L+50L=110$$

Additionner 500L et 50L.

$$550L=110$$

Divisez les deux côtés par 550.

$$L=\frac{1}{5}$$

Substituer \frac{1}{5} à L dans k=100L. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer k directement.

$$k=100\times \frac{1}{5}$$

Multiplier 100 par \frac{1}{5}.

$$k=20$$

Le système est désormais résolu.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Étapes d’utilisation des matrices

Examinez la première équation. La variable L ne peut pas être égale à 0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multiplier les deux côtés de l’équation par L.

$$k=100L$$

Soustraire 100L des deux côtés.

$$k-100L=0$$

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), aussi l’équation de la matrice peut être réécrite sous la forme d’un problème de multiplication de matrices.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{50-\left(-100\times 5\right)}&-\frac{-100}{50-\left(-100\times 5\right)}\\-\frac{5}{50-\left(-100\times 5\right)}&\frac{1}{50-\left(-100\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{1}{110}&\frac{1}{550}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 110\\\frac{1}{550}\times 110\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice k et L.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Examinez la première équation. La variable L ne peut pas être égale à 0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multiplier les deux côtés de l’équation par L.

$$k=100L$$

Soustraire 100L des deux côtés.

$$k-100L=0$$

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

Pour rendre k et 5k égaux, multipliez tous les termes de chaque côté de la première équation par 5 et tous les termes de chaque côté de la seconde équation par 1.

$$5k+5\left(-100\right)L=0,5k+50L=110$$

Simplifier.

$$5k-500L=0,5k+50L=110$$

Soustraire 5k+50L=110 de 5k-500L=0 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$5k-5k-500L-50L=-110$$

Additionner 5k et -5k. Les termes 5k et -5k s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$-500L-50L=-110$$

Additionner -500L et -50L.

$$-550L=-110$$

Divisez les deux côtés par -550.

$$L=\frac{1}{5}$$

Substituer \frac{1}{5} à L dans 5k+50L=110. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer k directement.

$$5k+50\times \frac{1}{5}=110$$

Multiplier 50 par \frac{1}{5}.

$$5k+10=110$$

Soustraire 10 des deux côtés de l’équation.

$$5k=100$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$k=20$$

Le système est désormais résolu.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$