Résoudre {c}{x-3=y}{4x=37+3y}

$$\left. \begin{array} { c } { x - 3 = y } \\ { 4 x = 37 + 3 y } \end{array} \right.$$

Calculer x, y

$$x=28$$

$$y=25$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Examinez la première équation. Soustraire y des deux côtés.

$$x-3-y=0$$

Ajouter 3 aux deux côtés. Une valeur plus zéro donne la même valeur.

$$x-y=3$$

Examinez la deuxième équation. Soustraire 3y des deux côtés.

$$4x-3y=37$$

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Choisissez une des équations et résolvez-la pour x en isolant x du côté gauche du signe égal.

$$x-y=3$$

Ajouter y aux deux côtés de l’équation.

$$x=y+3$$

Substituer y+3 par x dans l’autre équation, 4x-3y=37.

$$4\left(y+3\right)-3y=37$$

Multiplier 4 par y+3.

$$4y+12-3y=37$$

Additionner 4y et -3y.

$$y+12=37$$

Soustraire 12 des deux côtés de l’équation.

$$y=25$$

Substituer 25 à y dans x=y+3. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$x=25+3$$

Additionner 3 et 25.

$$x=28$$

Le système est désormais résolu.

$$x=28,y=25$$

Étapes d’utilisation des matrices

Examinez la première équation. Soustraire y des deux côtés.

$$x-3-y=0$$

Ajouter 3 aux deux côtés. Une valeur plus zéro donne la même valeur.

$$x-y=3$$

Examinez la deuxième équation. Soustraire 3y des deux côtés.

$$4x-3y=37$$

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), aussi l’équation de la matrice peut être réécrite sous la forme d’un problème de multiplication de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-3-\left(-4\right)}&\frac{1}{-3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 3+37\\-4\times 3+37\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\25\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice x et y.

$$x=28,y=25$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Examinez la première équation. Soustraire y des deux côtés.

$$x-3-y=0$$

Ajouter 3 aux deux côtés. Une valeur plus zéro donne la même valeur.

$$x-y=3$$

Examinez la deuxième équation. Soustraire 3y des deux côtés.

$$4x-3y=37$$

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Pour rendre x et 4x égaux, multipliez tous les termes de chaque côté de la première équation par 4 et tous les termes de chaque côté de la seconde équation par 1.

$$4x+4\left(-1\right)y=4\times 3,4x-3y=37$$

Simplifier.

$$4x-4y=12,4x-3y=37$$

Soustraire 4x-3y=37 de 4x-4y=12 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$4x-4x-4y+3y=12-37$$

Additionner 4x et -4x. Les termes 4x et -4x s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$-4y+3y=12-37$$

Additionner -4y et 3y.

$$-y=12-37$$

Additionner 12 et -37.

$$-y=-25$$

Divisez les deux côtés par -1.

$$y=25$$

Substituer 25 à y dans 4x-3y=37. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$4x-3\times 25=37$$

Multiplier -3 par 25.

$$4x-75=37$$

Ajouter 75 aux deux côtés de l’équation.

$$4x=112$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$x=28$$

Le système est désormais résolu.

$$x=28,y=25$$