Résoudre {ccc}{-1}&{1}&{1}{1}&{-1}&{1}{1}&{1}&{1}

$$\left( \begin{array} { c c c } { - 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right)$$

Calculer le déterminant

$$4$$

Étapes d’utilisation de la règle de Sarrus

Trouver le déterminant de la matrice à l’aide de la méthode des diagonales.

$$det(\left(\begin{matrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&1\end{matrix}\right))$$

Étendre la matrice d’origine en répétant les deux premières colonnes comme quatrième et cinquième colonnes.

$$\left(\begin{matrix}-1&1&1&-1&1\\1&-1&1&1&-1\\1&1&1&1&1\end{matrix}\right)$$

En commençant par l’entrée gauche supérieure, multiplier vers le bas le long des diagonales et additionner les produits obtenus.

$$-\left(-1\right)+1+1=3$$

En commençant par l’entrée gauche inférieure, multiplier vers le haut le long des diagonales et additionner les produits obtenus.

$$-1-1+1=-1$$

Soustraire la somme des produits en diagonale vers le haut de la somme des produits en diagonale vers le bas.

$$3-\left(-1\right)$$

Soustraire -1 à 3.

$$4$$

Étapes d’utilisation de l’extension par les mineurs

Trouver le déterminant de la matrice à l’aide de la méthode d’extension par les mineurs (ou extension par les cofacteurs).

$$det(\left(\begin{matrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&1\end{matrix}\right))$$

Pour étendre par les mineurs, multipliez chaque élément de la première ligne par son mineur, qui est le déterminant de la matrice 2\times 2 créée par la suppression de la ligne et de la colonne contenant cet élément, puis multipliez par le signe de position de l’élément.

$$-det(\left(\begin{matrix}-1&1\\1&1\end{matrix}\right))-det(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1\end{matrix}\right))+det(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))$$

Pour le \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) de matrice 2\times 2, le déterminant est ad-bc.

$$-\left(-1-1\right)-\left(1-1\right)+1-\left(-1\right)$$

Simplifier.

$$-\left(-2\right)+2$$

Ajouter les termes pour obtenir le résultat final.

$$4$$

Évaluer

$$\left(\begin{matrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&1\end{matrix}\right)$$