Résoudre left(p^6+5p^3+12right)=0

$$\left( { p }^{ 6 } +5 { p }^{ 3 } +12 \right) =0$$

Calculer p

$$p\in \sqrt[3]{2}\sqrt[6]{3}e^{\frac{\left(\arctan(\frac{\sqrt{23}}{5})+\pi \right)i}{3}},\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{3}e^{\frac{\arctan(\frac{\sqrt{23}}{5})i+5\pi i}{3}},\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{3}e^{\frac{\arctan(\frac{\sqrt{23}}{5})i+3\pi i}{3}},\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{3}e^{\frac{-\arctan(\frac{\sqrt{23}}{5})i+5\pi i}{3}},\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{3}e^{\frac{-\arctan(\frac{\sqrt{23}}{5})i+\pi i}{3}},\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{3}e^{\frac{-\arctan(\frac{\sqrt{23}}{5})i+3\pi i}{3}}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Substituer t pour p^{3}.

$$t^{2}+5t+12=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 1 pour a, 5 pour b et 12 pour c dans la formule quadratique.

$$t=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 1\times 12}}{2}$$

Effectuer les calculs.

$$t=\frac{-5±\sqrt{-23}}{2}$$

Résoudre l’équation t=\frac{-5±\sqrt{-23}}{2} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$t=\frac{-5+\sqrt{23}i}{2} t=\frac{-\sqrt{23}i-5}{2}$$

Depuis p=t^{3}, les solutions sont obtenues en résolvant l’équation pour chaque t.

$$p=\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{3}e^{\frac{-\arctan(\frac{\sqrt{23}}{5})i+5\pi i}{3}} p=\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{3}e^{\frac{-\arctan(\frac{\sqrt{23}}{5})i+3\pi i}{3}} p=\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{3}e^{\frac{-\arctan(\frac{\sqrt{23}}{5})i+\pi i}{3}} p=\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{3}e^{\frac{\arctan(\frac{\sqrt{23}}{5})i+5\pi i}{3}} p=\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{3}e^{\frac{\arctan(\frac{\sqrt{23}}{5})i+3\pi i}{3}} p=\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{3}e^{\frac{\left(\arctan(\frac{\sqrt{23}}{5})+\pi \right)i}{3}}$$