Résoudre {lll}{i}&{j}&{k}{3}&{i}&{2}{1}&{1}&{3}

$$\left| \begin{array} { l l l } { i } & { j } & { k } \\ { 3 } & { i } & { 2 } \\ { 1 } & { 1 } & { 3 } \end{array} \right|$$

Évaluer

$$-3-2i+\left(3-i\right)k-7j$$

Étapes d’utilisation de la règle de Sarrus

Trouver le déterminant de la matrice à l’aide de la méthode des diagonales.

$$det(\left(\begin{matrix}i&j&k\\3&i&2\\1&1&3\end{matrix}\right))$$

Étendre la matrice d’origine en répétant les deux premières colonnes comme quatrième et cinquième colonnes.

$$\left(\begin{matrix}i&j&k&i&j\\3&i&2&3&i\\1&1&3&1&1\end{matrix}\right)$$

En commençant par l’entrée gauche supérieure, multiplier vers le bas le long des diagonales et additionner les produits obtenus.

$$i\times \left(3i\right)+j\times 2+k\times 3=2j+3k-3$$

En commençant par l’entrée gauche inférieure, multiplier vers le haut le long des diagonales et additionner les produits obtenus.

$$ik+2i+3\times 3j=9j+ik+2i$$

Soustraire la somme des produits en diagonale vers le haut de la somme des produits en diagonale vers le bas.

$$2j+3k-3-\left(9j+ik+2i\right)$$

Soustraire ik+2i+9j à -3+2j+3k.

$$-3-2i+\left(3-i\right)k-7j$$

Étapes d’utilisation de l’extension par les mineurs

Trouver le déterminant de la matrice à l’aide de la méthode d’extension par les mineurs (ou extension par les cofacteurs).

$$det(\left(\begin{matrix}i&j&k\\3&i&2\\1&1&3\end{matrix}\right))$$

Pour étendre par les mineurs, multipliez chaque élément de la première ligne par son mineur, qui est le déterminant de la matrice 2\times 2 créée par la suppression de la ligne et de la colonne contenant cet élément, puis multipliez par le signe de position de l’élément.

$$idet(\left(\begin{matrix}i&2\\1&3\end{matrix}\right))-jdet(\left(\begin{matrix}3&2\\1&3\end{matrix}\right))+kdet(\left(\begin{matrix}3&i\\1&1\end{matrix}\right))$$

Pour le \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) de matrice 2\times 2, le déterminant est ad-bc.

$$i\left(3i-2\right)-j\left(3\times 3-2\right)+k\left(3-i\right)$$

Simplifier.

$$i\left(-2+3i\right)-j\times 7+k\left(3-i\right)$$

Ajouter les termes pour obtenir le résultat final.

$$-3-2i+\left(3-i\right)k-7j$$