Résoudre {lll}{1}&{1}&{1}{n}&{u}&{b}{c}&{d}&{e}

$$\left| \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { n } & { u } & { b } \\ { c } & { d } & { e } \end{array} \right|$$

Évaluer

$$dn-en-cu+eu+bc-bd$$

Étapes d’utilisation de la règle de Sarrus

Trouver le déterminant de la matrice à l’aide de la méthode des diagonales.

$$det(\left(\begin{matrix}1&1&1\\n&u&b\\c&d&e\end{matrix}\right))$$

Étendre la matrice d’origine en répétant les deux premières colonnes comme quatrième et cinquième colonnes.

$$\left(\begin{matrix}1&1&1&1&1\\n&u&b&n&u\\c&d&e&c&d\end{matrix}\right)$$

En commençant par l’entrée gauche supérieure, multiplier vers le bas le long des diagonales et additionner les produits obtenus.

$$ue+bc+nd=dn+eu+bc$$

En commençant par l’entrée gauche inférieure, multiplier vers le haut le long des diagonales et additionner les produits obtenus.

$$cu+db+en=en+cu+bd$$

Soustraire la somme des produits en diagonale vers le haut de la somme des produits en diagonale vers le bas.

$$dn+eu+bc-\left(en+cu+bd\right)$$

Soustraire cu+db+en à ue+bc+nd.

$$dn-en-cu+eu+bc-bd$$

Étapes d’utilisation de l’extension par les mineurs

Trouver le déterminant de la matrice à l’aide de la méthode d’extension par les mineurs (ou extension par les cofacteurs).

$$det(\left(\begin{matrix}1&1&1\\n&u&b\\c&d&e\end{matrix}\right))$$

Pour étendre par les mineurs, multipliez chaque élément de la première ligne par son mineur, qui est le déterminant de la matrice 2\times 2 créée par la suppression de la ligne et de la colonne contenant cet élément, puis multipliez par le signe de position de l’élément.

$$det(\left(\begin{matrix}u&b\\d&e\end{matrix}\right))-det(\left(\begin{matrix}n&b\\c&e\end{matrix}\right))+det(\left(\begin{matrix}n&u\\c&d\end{matrix}\right))$$

Pour le \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) de matrice 2\times 2, le déterminant est ad-bc.

$$ue-db-\left(ne-cb\right)+nd-cu$$

Simplifier.

$$eu-bd-\left(en-bc\right)+dn-cu$$

Ajouter les termes pour obtenir le résultat final.

$$dn-en-cu+eu+bc-bd$$

Intégrer w.r.t. u

$$-\frac{cu^{2}}{2}+bcu+dnu-bdu+\frac{eu^{2}}{2}-enu+С$$