Résoudre {ccc}{i}&{j}&{k}{1}&{-2}&{2}{3}&{2}&{0}

$$\left| \begin{array} { c c c } { i } & { j } & { k } \\ { 1 } & { - 2 } & { 2 } \\ { 3 } & { 2 } & { 0 } \end{array} \right|$$

Évaluer

$$6j+8k-4i$$

Étapes d’utilisation de la règle de Sarrus

Trouver le déterminant de la matrice à l’aide de la méthode des diagonales.

$$det(\left(\begin{matrix}i&j&k\\1&-2&2\\3&2&0\end{matrix}\right))$$

Étendre la matrice d’origine en répétant les deux premières colonnes comme quatrième et cinquième colonnes.

$$\left(\begin{matrix}i&j&k&i&j\\1&-2&2&1&-2\\3&2&0&3&2\end{matrix}\right)$$

En commençant par l’entrée gauche supérieure, multiplier vers le bas le long des diagonales et additionner les produits obtenus.

$$j\times 2\times 3+k\times 2=6j+2k$$

En commençant par l’entrée gauche inférieure, multiplier vers le haut le long des diagonales et additionner les produits obtenus.

$$3\left(-2\right)k+2\times \left(2i\right)=4i-6k$$

Soustraire la somme des produits en diagonale vers le haut de la somme des produits en diagonale vers le bas.

$$6j+2k-\left(4i-6k\right)$$

Soustraire -6k+4i à 6j+2k.

$$6j+8k-4i$$

Étapes d’utilisation de l’extension par les mineurs

Trouver le déterminant de la matrice à l’aide de la méthode d’extension par les mineurs (ou extension par les cofacteurs).

$$det(\left(\begin{matrix}i&j&k\\1&-2&2\\3&2&0\end{matrix}\right))$$

Pour étendre par les mineurs, multipliez chaque élément de la première ligne par son mineur, qui est le déterminant de la matrice 2\times 2 créée par la suppression de la ligne et de la colonne contenant cet élément, puis multipliez par le signe de position de l’élément.

$$idet(\left(\begin{matrix}-2&2\\2&0\end{matrix}\right))-jdet(\left(\begin{matrix}1&2\\3&0\end{matrix}\right))+kdet(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))$$

Pour le \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) de matrice 2\times 2, le déterminant est ad-bc.

$$i\left(-2\times 2\right)-j\left(-3\times 2\right)+k\left(2-3\left(-2\right)\right)$$

Simplifier.

$$-4i-j\left(-6\right)+k\times 8$$

Ajouter les termes pour obtenir le résultat final.

$$6j+8k-4i$$