Résoudre {ccc}{i}&{j}&{k}{-1}&{-1}&{2}{-3}&{3}&{0}

$$\left| \begin{array} { c c c } { i } & { j } & { k } \\ { - 1 } & { - 1 } & { 2 } \\ { - 3 } & { 3 } & { 0 } \end{array} \right|$$

Évaluer

$$-6i-6k-6j$$

Étapes d’utilisation de la règle de Sarrus

Trouver le déterminant de la matrice à l’aide de la méthode des diagonales.

$$det(\left(\begin{matrix}i&j&k\\-1&-1&2\\-3&3&0\end{matrix}\right))$$

Étendre la matrice d’origine en répétant les deux premières colonnes comme quatrième et cinquième colonnes.

$$\left(\begin{matrix}i&j&k&i&j\\-1&-1&2&-1&-1\\-3&3&0&-3&3\end{matrix}\right)$$

En commençant par l’entrée gauche supérieure, multiplier vers le bas le long des diagonales et additionner les produits obtenus.

$$j\times 2\left(-3\right)+k\left(-1\right)\times 3=-6j-3k$$

En commençant par l’entrée gauche inférieure, multiplier vers le haut le long des diagonales et additionner les produits obtenus.

$$-3\left(-1\right)k+3\times \left(2i\right)=3k+6i$$

Soustraire la somme des produits en diagonale vers le haut de la somme des produits en diagonale vers le bas.

$$-6j-3k-\left(3k+6i\right)$$

Soustraire 3k+6i à -6j-3k.

$$-6i-6k-6j$$

Étapes d’utilisation de l’extension par les mineurs

Trouver le déterminant de la matrice à l’aide de la méthode d’extension par les mineurs (ou extension par les cofacteurs).

$$det(\left(\begin{matrix}i&j&k\\-1&-1&2\\-3&3&0\end{matrix}\right))$$

Pour étendre par les mineurs, multipliez chaque élément de la première ligne par son mineur, qui est le déterminant de la matrice 2\times 2 créée par la suppression de la ligne et de la colonne contenant cet élément, puis multipliez par le signe de position de l’élément.

$$idet(\left(\begin{matrix}-1&2\\3&0\end{matrix}\right))-jdet(\left(\begin{matrix}-1&2\\-3&0\end{matrix}\right))+kdet(\left(\begin{matrix}-1&-1\\-3&3\end{matrix}\right))$$

Pour le \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) de matrice 2\times 2, le déterminant est ad-bc.

$$i\left(-3\times 2\right)-j\left(-\left(-3\times 2\right)\right)+k\left(-3-\left(-3\left(-1\right)\right)\right)$$

Simplifier.

$$-6i-j\times 6+k\left(-6\right)$$

Ajouter les termes pour obtenir le résultat final.

$$-6i-6k-6j$$