Résoudre {ccc}{4}&{3}&{-1}{5}&{-3}&{3}{-5}&{1}&{-2}

$$\left| \begin{array} { c c c } { 4 } & { 3 } & { - 1 } \\ { 5 } & { - 3 } & { 3 } \\ { - 5 } & { 1 } & { - 2 } \end{array} \right|$$

Évaluer

$$7$$

Étapes d’utilisation de la règle de Sarrus

Trouver le déterminant de la matrice à l’aide de la méthode des diagonales.

$$det(\left(\begin{matrix}4&3&-1\\5&-3&3\\-5&1&-2\end{matrix}\right))$$

Étendre la matrice d’origine en répétant les deux premières colonnes comme quatrième et cinquième colonnes.

$$\left(\begin{matrix}4&3&-1&4&3\\5&-3&3&5&-3\\-5&1&-2&-5&1\end{matrix}\right)$$

En commençant par l’entrée gauche supérieure, multiplier vers le bas le long des diagonales et additionner les produits obtenus.

$$4\left(-3\right)\left(-2\right)+3\times 3\left(-5\right)-5=-26$$

En commençant par l’entrée gauche inférieure, multiplier vers le haut le long des diagonales et additionner les produits obtenus.

$$-5\left(-3\right)\left(-1\right)+3\times 4-2\times 5\times 3=-33$$

Soustraire la somme des produits en diagonale vers le haut de la somme des produits en diagonale vers le bas.

$$-26-\left(-33\right)$$

Soustraire -33 à -26.

$$7$$

Étapes d’utilisation de l’extension par les mineurs

Trouver le déterminant de la matrice à l’aide de la méthode d’extension par les mineurs (ou extension par les cofacteurs).

$$det(\left(\begin{matrix}4&3&-1\\5&-3&3\\-5&1&-2\end{matrix}\right))$$

Pour étendre par les mineurs, multipliez chaque élément de la première ligne par son mineur, qui est le déterminant de la matrice 2\times 2 créée par la suppression de la ligne et de la colonne contenant cet élément, puis multipliez par le signe de position de l’élément.

$$4det(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-2\end{matrix}\right))-3det(\left(\begin{matrix}5&3\\-5&-2\end{matrix}\right))-det(\left(\begin{matrix}5&-3\\-5&1\end{matrix}\right))$$

Pour le \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) de matrice 2\times 2, le déterminant est ad-bc.

$$4\left(-3\left(-2\right)-3\right)-3\left(5\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)\right)-\left(5-\left(-5\left(-3\right)\right)\right)$$

Simplifier.

$$4\times 3-3\times 5-\left(-10\right)$$

Ajouter les termes pour obtenir le résultat final.

$$7$$

Factoriser

$$7$$