Résoudre {l}{y=3x}{x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x } \\ { x + y = 16 } \end{array} \right\}$$

Calculer y, x

$$x=4$$

$$y=12$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Examinez la première équation. Soustraire 3x des deux côtés.

$$y-3x=0$$

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Choisissez une des équations et résolvez-la y en isolant y à gauche du signe égal.

$$y-3x=0$$

Ajouter 3x aux deux côtés de l’équation.

$$y=3x$$

Substituer 3x par y dans l’autre équation, y+x=16.

$$3x+x=16$$

Additionner 3x et x.

$$4x=16$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$x=4$$

Substituer 4 à x dans y=3x. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer y directement.

$$y=3\times 4$$

Multiplier 3 par 4.

$$y=12$$

Le système est désormais résolu.

$$y=12,x=4$$

Étapes d’utilisation des matrices

Examinez la première équation. Soustraire 3x des deux côtés.

$$y-3x=0$$

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), de sorte que l’équation de matrice peut être réécrite en tant que problème de multiplication de matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 16\\\frac{1}{4}\times 16\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice y et x.

$$y=12,x=4$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Examinez la première équation. Soustraire 3x des deux côtés.

$$y-3x=0$$

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Soustraire y+x=16 de y-3x=0 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$y-y-3x-x=-16$$

Additionner y et -y. Les termes y et-y s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$-3x-x=-16$$

Additionner -3x et -x.

$$-4x=-16$$

Divisez les deux côtés par -4.

$$x=4$$

Substituer 4 à x dans y+x=16. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer y directement.

$$y+4=16$$

Soustraire 4 des deux côtés de l’équation.

$$y=12$$

Le système est désormais résolu.

$$y=12,x=4$$