Résoudre {l}{x-y=1/4}{3x^2-6=y^2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = \frac { 1 } { 4 } } \\ { 3 x ^ { 2 } - 6 = y ^ { 2 } } \end{array} \right.$$

Calculer x, y

$$x=\frac{-\sqrt{195}-1}{8}\approx -1.870530005\text{, }y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}\approx -2.120530005$$

$$x=\frac{\sqrt{195}-1}{8}\approx 1.620530005\text{, }y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\approx 1.370530005$$

Étapes d’utilisation de la substitution et de la formule quadratique

Examinez la deuxième équation. Soustraire y^{2} des deux côtés.

$$3x^{2}-6-y^{2}=0$$

Ajouter 6 aux deux côtés. Une valeur plus zéro donne la même valeur.

$$3x^{2}-y^{2}=6$$

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$x-y=\frac{1}{4},-y^{2}+3x^{2}=6$$

Résolvez x-y=\frac{1}{4} pour la x en isolant x du côté gauche du signe égal.

$$x-y=\frac{1}{4}$$

Soustraire -y des deux côtés de l’équation.

$$x=y+\frac{1}{4}$$

Substituer y+\frac{1}{4} par x dans l’autre équation, -y^{2}+3x^{2}=6.

$$-y^{2}+3\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=6$$

Calculer le carré de y+\frac{1}{4}.

$$-y^{2}+3\left(y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}\right)=6$$

Multiplier 3 par y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}.

$$-y^{2}+3y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

Additionner -y^{2} et 3y^{2}.

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

Soustraire 6 des deux côtés de l’équation.

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y-\frac{93}{16}=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -1+3\times 1^{2} à a, 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2 à b et -\frac{93}{16} à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par -1+3\times 1^{2}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-8\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par -\frac{93}{16}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{93}{2}}}{2\times 2}$$

Additionner \frac{9}{4} et \frac{93}{2} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{195}{4}}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de \frac{195}{4}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par -1+3\times 1^{2}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} lorsque ± est positif. Additionner -\frac{3}{2} et \frac{\sqrt{195}}{2}.

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

Diviser \frac{-3+\sqrt{195}}{2} par 4.

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire \frac{\sqrt{195}}{2} à -\frac{3}{2}.

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

Diviser \frac{-3-\sqrt{195}}{2} par 4.

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$

Il existe deux solutions pour y : \frac{-3+\sqrt{195}}{8} et \frac{-3-\sqrt{195}}{8}. Substituez \frac{-3+\sqrt{195}}{8} par y dans l’équation x=y+\frac{1}{4} pour trouver la solution correspondante pour x qui satisfait les deux équations.

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

Substituez \frac{-3-\sqrt{195}}{8} par y dans l’équation x=y+\frac{1}{4} et calculez-la pour trouver la solution correspondante pour x qui satisfait les deux équations.

$$x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

Le système est désormais résolu.

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\text{ or }x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$