Calculer x, y
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8x+2y=46,7x+3y=47
Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.
8x+2y=46
Choisissez une des équations et résolvez-la pour x en isolant x du côté gauche du signe égal.
8x=-2y+46
Soustraire 2y des deux côtés de l’équation.
x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)
Divisez les deux côtés par 8.
x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}
Multiplier \frac{1}{8} par -2y+46.
7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47
Substituer \frac{-y+23}{4} par x dans l’autre équation, 7x+3y=47.
-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47
Multiplier 7 par \frac{-y+23}{4}.
\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47
Additionner -\frac{7y}{4} et 3y.
\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}
Soustraire \frac{161}{4} des deux côtés de l’équation.
y=\frac{27}{5}
Diviser les deux côtés de l’équation par \frac{5}{4}, ce qui revient à multiplier les deux côtés par la réciproque de la fraction.
x=-\frac{1}{4}\times \left(\frac{27}{5}\right)+\frac{23}{4}
Substituer \frac{27}{5} à y dans x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.
x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}
Multiplier -\frac{1}{4} par \frac{27}{5} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.
x=\frac{22}{5}
Additionner \frac{23}{4} et -\frac{27}{20} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.
x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}
Le système est désormais résolu.
8x+2y=46,7x+3y=47
Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.
\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)
Écrire les équations sous forme de matrice.
inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)
Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)
Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)
Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)
Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), aussi l’équation de la matrice peut être réécrite sous la forme d’un problème de multiplication de matrices.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)
Faites le calcul.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)
Multiplier les matrices.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)
Faites le calcul.
x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}
Extraire les éléments de matrice x et y.
8x+2y=46,7x+3y=47
Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.
7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47
Pour rendre 8x et 7x égaux, multipliez tous les termes de chaque côté de la première équation par 7 et tous les termes de chaque côté de la seconde équation par 8.
56x+14y=322,56x+24y=376
Simplifier.
56x-56x+14y-24y=322-376
Soustraire 56x+24y=376 de 56x+14y=322 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.
14y-24y=322-376
Additionner 56x et -56x. Les termes 56x et -56x s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.
-10y=322-376
Additionner 14y et -24y.
-10y=-54
Additionner 322 et -376.
y=\frac{27}{5}
Divisez les deux côtés par -10.
7x+3\times \left(\frac{27}{5}\right)=47
Substituer \frac{27}{5} à y dans 7x+3y=47. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.
7x+\frac{81}{5}=47
Multiplier 3 par \frac{27}{5}.
7x=\frac{154}{5}
Soustraire \frac{81}{5} des deux côtés de l’équation.
x=\frac{22}{5}
Divisez les deux côtés par 7.
x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}
Le système est désormais résolu.