Résoudre {l}{2x+4y=2060}{5x+7y=1640}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2060 } \\ { 5 x + 7 y = 1640 } \end{array} \right.$$

Calculer x, y

$$x=-1310$$

$$y=1170$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Choisissez une des équations et résolvez-la pour x en isolant x du côté gauche du signe égal.

$$2x+4y=2060$$

Soustraire 4y des deux côtés de l’équation.

$$2x=-4y+2060$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2060\right)$$

Multiplier \frac{1}{2} par -4y+2060.

$$x=-2y+1030$$

Substituer -2y+1030 par x dans l’autre équation, 5x+7y=1640.

$$5\left(-2y+1030\right)+7y=1640$$

Multiplier 5 par -2y+1030.

$$-10y+5150+7y=1640$$

Additionner -10y et 7y.

$$-3y+5150=1640$$

Soustraire 5150 des deux côtés de l’équation.

$$-3y=-3510$$

Divisez les deux côtés par -3.

$$y=1170$$

Substituer 1170 à y dans x=-2y+1030. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$x=-2\times 1170+1030$$

Multiplier -2 par 1170.

$$x=-2340+1030$$

Additionner 1030 et -2340.

$$x=-1310$$

Le système est désormais résolu.

$$x=-1310,y=1170$$

Étapes d’utilisation des matrices

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), aussi l’équation de la matrice peut être réécrite sous la forme d’un problème de multiplication de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-4\times 5}&-\frac{4}{2\times 7-4\times 5}\\-\frac{5}{2\times 7-4\times 5}&\frac{2}{2\times 7-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\times 2060+\frac{2}{3}\times 1640\\\frac{5}{6}\times 2060-\frac{1}{3}\times 1640\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1310\\1170\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice x et y.

$$x=-1310,y=1170$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Pour rendre 2x et 5x égaux, multipliez tous les termes de chaque côté de la première équation par 5 et tous les termes de chaque côté de la seconde équation par 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 2060,2\times 5x+2\times 7y=2\times 1640$$

Simplifier.

$$10x+20y=10300,10x+14y=3280$$

Soustraire 10x+14y=3280 de 10x+20y=10300 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$10x-10x+20y-14y=10300-3280$$

Additionner 10x et -10x. Les termes 10x et -10x s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$20y-14y=10300-3280$$

Additionner 20y et -14y.

$$6y=10300-3280$$

Additionner 10300 et -3280.

$$6y=7020$$

Divisez les deux côtés par 6.

$$y=1170$$

Substituer 1170 à y dans 5x+7y=1640. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$5x+7\times 1170=1640$$

Multiplier 7 par 1170.

$$5x+8190=1640$$

Soustraire 8190 des deux côtés de l’équation.

$$5x=-6550$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$x=-1310$$

Le système est désormais résolu.

$$x=-1310,y=1170$$