Résoudre {l}{(x+2)^2+1=x^2+5y}{3x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x + 2 ) ^ { 2 } + 1 = x ^ { 2 } + 5 y } \\ { 3 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Calculer x, y

$$x=0$$

$$y=1$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Examinez la première équation. Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Additionner 4 et 1 pour obtenir 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Combiner x^{2} et -x^{2} pour obtenir 0.

$$4x+5=5y$$

Soustraire 5y des deux côtés.

$$4x+5-5y=0$$

Soustraire 5 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$4x-5y=-5$$

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Choisissez une des équations et résolvez-la pour x en isolant x du côté gauche du signe égal.

$$4x-5y=-5$$

Ajouter 5y aux deux côtés de l’équation.

$$4x=5y-5$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-5\right)$$

Multiplier \frac{1}{4} par -5+5y.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}$$

Substituer \frac{-5+5y}{4} par x dans l’autre équation, 3x+y=1.

$$3\left(\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}\right)+y=1$$

Multiplier 3 par \frac{-5+5y}{4}.

$$\frac{15}{4}y-\frac{15}{4}+y=1$$

Additionner \frac{15y}{4} et y.

$$\frac{19}{4}y-\frac{15}{4}=1$$

Ajouter \frac{15}{4} aux deux côtés de l’équation.

$$\frac{19}{4}y=\frac{19}{4}$$

Diviser les deux côtés de l’équation par \frac{19}{4}, ce qui revient à multiplier les deux côtés par la réciproque de la fraction.

$$y=1$$

Substituer 1 à y dans x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$x=\frac{5-5}{4}$$

Additionner -\frac{5}{4} et \frac{5}{4} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x=0$$

Le système est désormais résolu.

$$x=0,y=1$$

Étapes d’utilisation des matrices

Examinez la première équation. Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Additionner 4 et 1 pour obtenir 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Combiner x^{2} et -x^{2} pour obtenir 0.

$$4x+5=5y$$

Soustraire 5y des deux côtés.

$$4x+5-5y=0$$

Soustraire 5 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$4x-5y=-5$$

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), aussi l’équation de la matrice peut être réécrite sous la forme d’un problème de multiplication de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-5\right)+\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}\left(-5\right)+\frac{4}{19}\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice x et y.

$$x=0,y=1$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Examinez la première équation. Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Additionner 4 et 1 pour obtenir 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Combiner x^{2} et -x^{2} pour obtenir 0.

$$4x+5=5y$$

Soustraire 5y des deux côtés.

$$4x+5-5y=0$$

Soustraire 5 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$4x-5y=-5$$

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Pour rendre 4x et 3x égaux, multipliez tous les termes de chaque côté de la première équation par 3 et tous les termes de chaque côté de la seconde équation par 4.

$$3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\left(-5\right),4\times 3x+4y=4$$

Simplifier.

$$12x-15y=-15,12x+4y=4$$

Soustraire 12x+4y=4 de 12x-15y=-15 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$12x-12x-15y-4y=-15-4$$

Additionner 12x et -12x. Les termes 12x et -12x s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$-15y-4y=-15-4$$

Additionner -15y et -4y.

$$-19y=-15-4$$

Additionner -15 et -4.

$$-19y=-19$$

Divisez les deux côtés par -19.

$$y=1$$

Substituer 1 à y dans 3x+y=1. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$3x+1=1$$

Soustraire 1 des deux côtés de l’équation.

$$3x=0$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$x=0$$

Le système est désormais résolu.

$$x=0,y=1$$