Résoudre ∫ (from 0 to 1) of {left(1-sqrt{x}right)}^2 wrt x

$$\int_{ 0 }^{ 1 } { \left(1- \sqrt{ x } \right) }^{ 2 } d x$$

Évaluer

$$\frac{1}{6}\approx 0,166666667$$

Étapes de la solution

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(1-\sqrt{x}\right)^{2}.

$$\int _{0}^{1}1-2\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Calculer \sqrt{x} à la puissance 2 et obtenir x.

$$\int _{0}^{1}1-2\sqrt{x}+x\mathrm{d}x$$

Évaluez l’intégrale indéfinie en premier.

$$\int 1-2\sqrt{x}+x\mathrm{d}x$$

Intégrez le terme somme par terme.

$$\int 1\mathrm{d}x+\int -2\sqrt{x}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

Factorisez la constante dans chaque terme.

$$\int 1\mathrm{d}x-2\int \sqrt{x}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

Trouver l’intégralité de 1 à l’aide du tableau de la règle des intégraux communs \int a\mathrm{d}x=ax.

$$x-2\int \sqrt{x}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

Réécrire \sqrt{x} en tant qu’x^{\frac{1}{2}}. Dans la mesure où \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pour k\neq -1, remplacez \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x par \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Simplifier. Multiplier -2 par \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}.

$$x-\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}+\int x\mathrm{d}x$$

Dans la mesure où \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pour k\neq -1, remplacez \int x\mathrm{d}x par \frac{x^{2}}{2}.

$$x-\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}+\frac{x^{2}}{2}$$

Simplifier.

$$\frac{x^{2}}{2}-\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}+x$$

L’intégrale définie est la primitive de l'expression évaluée à la limite supérieure de l’intégration moins la primitive évaluée à la limite inférieure de l’intégration.

$$\frac{1^{2}}{2}-\frac{4}{3}\times 1^{\frac{3}{2}}+1-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{4}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}+0\right)$$

Simplifier.

$$\frac{1}{6}$$