Résoudre ∫ (from r to sqrt { alpha ^ 2) of - r}r wrt z

$$\int _ { r } ^ { \sqrt { \alpha ^ { 2 } - r } } r d z$$

Évaluer

$$r\left(\sqrt{\alpha ^{2}-r}-r\right)$$

$$r\leq \alpha ^{2}$$

Étapes de la solution

Évaluez l’intégrale indéfinie en premier.

$$\int r\mathrm{d}z$$

Trouver l’intégralité de r à l’aide du tableau de la règle des intégraux communs \int a\mathrm{d}z=az.

$$rz$$

L’intégrale définie est la primitive de l'expression évaluée à la limite supérieure de l’intégration moins la primitive évaluée à la limite inférieure de l’intégration.

$$r\left(\alpha ^{2}-r\right)^{\frac{1}{2}}-rr$$

Simplifier.

$$r\left(\sqrt{\alpha ^{2}-r}-r\right)$$

Différencier w.r.t. r

$$\frac{\alpha ^{2}}{\sqrt{\alpha ^{2}-r}}-2r-\frac{3r}{2\sqrt{\alpha ^{2}-r}}$$