Résoudre ∫ (from b to a) of [f(x)]^2 wrt x

$$\int _ { b } ^ { a } [ f ( x ) ] ^ { 2 } d x$$

Évaluer

$$\frac{f^{2}\left(a^{3}-b^{3}\right)}{3}$$

Étapes de la solution

Évaluez l’intégrale indéfinie en premier.

$$\int \left(fx\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Factorisez la constante à l’aide de \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x.

$$f^{2}\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Dans la mesure où \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pour k\neq -1, remplacez \int x^{2}\mathrm{d}x par \frac{x^{3}}{3}.

$$f^{2}\times \frac{x^{3}}{3}$$

Simplifier.

$$\frac{f^{2}x^{3}}{3}$$

L’intégrale définie est la primitive de l'expression évaluée à la limite supérieure de l’intégration moins la primitive évaluée à la limite inférieure de l’intégration.

$$\frac{1}{3}f^{2}a^{3}-\frac{1}{3}f^{2}b^{3}$$

Simplifier.

$$\frac{f^{2}a^{3}-f^{2}b^{3}}{3}$$

Différencier w.r.t. f

$$\frac{2f\left(a^{3}-b^{3}\right)}{3}$$