Résoudre ∫ (from 4 to 9) of (sqrt{x}+1)sqrt{x wrt x

$$\int _ { 4 } ^ { 9 } ( \sqrt { x } + 1 ) \sqrt { x } d x$$

Évaluer

$$\frac{271}{6}\approx 45,166666667$$

Étapes de la solution

Utiliser la distributivité pour multiplier \sqrt{x}+1 par \sqrt{x}.

$$\int _{4}^{9}\left(\sqrt{x}\right)^{2}+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Calculer \sqrt{x} à la puissance 2 et obtenir x.

$$\int _{4}^{9}x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Évaluez l’intégrale indéfinie en premier.

$$\int x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Intégrez le terme somme par terme.

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Dans la mesure où \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pour k\neq -1, remplacez \int x\mathrm{d}x par \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Réécrire \sqrt{x} en tant qu’x^{\frac{1}{2}}. Dans la mesure où \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pour k\neq -1, remplacez \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x par \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Simplifier.

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

L’intégrale définie est la primitive de l'expression évaluée à la limite supérieure de l’intégration moins la primitive évaluée à la limite inférieure de l’intégration.

$$\frac{9^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 9^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{4^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}\right)$$

Simplifier.

$$\frac{271}{6}$$