Résoudre ∫ (from 1 to 5) of (1-x)(x-5) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 5 } ( 1 - x ) ( x - 5 ) d x$$

Évaluer

$$\frac{32}{3}\approx 10,666666667$$

Étapes de la solution

Appliquez la distributivité en multipliant chaque terme de 1-x par chaque terme de x-5.

$$\int _{1}^{5}x-5-x^{2}+5x\mathrm{d}x$$

Combiner x et 5x pour obtenir 6x.

$$\int _{1}^{5}6x-5-x^{2}\mathrm{d}x$$

Évaluez l’intégrale indéfinie en premier.

$$\int 6x-5-x^{2}\mathrm{d}x$$

Intégrez le terme somme par terme.

$$\int 6x\mathrm{d}x+\int -5\mathrm{d}x+\int -x^{2}\mathrm{d}x$$

Factorisez la constante dans chaque terme.

$$6\int x\mathrm{d}x+\int -5\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Dans la mesure où \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pour k\neq -1, remplacez \int x\mathrm{d}x par \frac{x^{2}}{2}. Multiplier 6 par \frac{x^{2}}{2}.

$$3x^{2}+\int -5\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Trouver l’intégralité de -5 à l’aide du tableau de la règle des intégraux communs \int a\mathrm{d}x=ax.

$$3x^{2}-5x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Dans la mesure où \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pour k\neq -1, remplacez \int x^{2}\mathrm{d}x par \frac{x^{3}}{3}. Multiplier -1 par \frac{x^{3}}{3}.

$$3x^{2}-5x-\frac{x^{3}}{3}$$

L’intégrale définie est la primitive de l'expression évaluée à la limite supérieure de l’intégration moins la primitive évaluée à la limite inférieure de l’intégration.

$$3\times 5^{2}-5\times 5-\frac{5^{3}}{3}-\left(3\times 1^{2}-5-\frac{1^{3}}{3}\right)$$

Simplifier.

$$\frac{32}{3}$$