Résoudre ∫ (from 1 to 3) of (x-2)^2 wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 3 } ( x - 2 ) ^ { 2 } d x$$

Évaluer

$$\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Étapes de la solution

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-2\right)^{2}.

$$\int _{1}^{3}x^{2}-4x+4\mathrm{d}x$$

Évaluez l’intégrale indéfinie en premier.

$$\int x^{2}-4x+4\mathrm{d}x$$

Intégrez le terme somme par terme.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -4x\mathrm{d}x+\int 4\mathrm{d}x$$

Factorisez la constante dans chaque terme.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-4\int x\mathrm{d}x+\int 4\mathrm{d}x$$

Dans la mesure où \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pour k\neq -1, remplacez \int x^{2}\mathrm{d}x par \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}-4\int x\mathrm{d}x+\int 4\mathrm{d}x$$

Dans la mesure où \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pour k\neq -1, remplacez \int x\mathrm{d}x par \frac{x^{2}}{2}. Multiplier -4 par \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}-2x^{2}+\int 4\mathrm{d}x$$

Trouver l’intégralité de 4 à l’aide du tableau de la règle des intégraux communs \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{3}}{3}-2x^{2}+4x$$

L’intégrale définie est la primitive de l'expression évaluée à la limite supérieure de l’intégration moins la primitive évaluée à la limite inférieure de l’intégration.

$$\frac{3^{3}}{3}-2\times 3^{2}+4\times 3-\left(\frac{1^{3}}{3}-2\times 1^{2}+4\times 1\right)$$

Simplifier.

$$\frac{2}{3}$$