Résoudre ∫ (from 0 to 2 pi) of (x^2-1)^2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } d x$$

Évaluer

$$\frac{32\pi ^{5}}{5}-\frac{16\pi ^{3}}{3}+2\pi \approx 1799,442358971$$

Étapes de la solution

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x^{2}-1\right)^{2}.

$$\int _{0}^{2\pi }\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\mathrm{d}x$$

Pour élever une puissance à une autre puissance, multipliez les exposants. Multipliez 2 par 2 pour obtenir 4.

$$\int _{0}^{2\pi }x^{4}-2x^{2}+1\mathrm{d}x$$

Évaluez l’intégrale indéfinie en premier.

$$\int x^{4}-2x^{2}+1\mathrm{d}x$$

Intégrez le terme somme par terme.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x+\int -2x^{2}\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Factorisez la constante dans chaque terme.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x-2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Dans la mesure où \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pour k\neq -1, remplacez \int x^{4}\mathrm{d}x par \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{5}}{5}-2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Dans la mesure où \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pour k\neq -1, remplacez \int x^{2}\mathrm{d}x par \frac{x^{3}}{3}. Multiplier -2 par \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{5}}{5}-\frac{2x^{3}}{3}+\int 1\mathrm{d}x$$

Trouver l’intégralité de 1 à l’aide du tableau de la règle des intégraux communs \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{5}}{5}-\frac{2x^{3}}{3}+x$$

Simplifier.

$$x-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}$$

L’intégrale définie est la primitive de l'expression évaluée à la limite supérieure de l’intégration moins la primitive évaluée à la limite inférieure de l’intégration.

$$2\pi -\frac{2}{3}\times \left(2\pi \right)^{3}+\frac{1}{5}\times \left(2\pi \right)^{5}-\left(0-\frac{2}{3}\times 0^{3}+\frac{0^{5}}{5}\right)$$

Simplifier.

$$2\pi -\frac{16\pi ^{3}}{3}+\frac{32\pi ^{5}}{5}$$