Résoudre ∫ (from 0 to 2 pi) of operatorname{arctanh}(x) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \operatorname { arctanh } ( x ) d x$$

Évaluer

$$2\pi ^{2}\arctan(h)$$

Étapes de la solution

Évaluez l’intégrale indéfinie en premier.

$$\int \arctan(h)x\mathrm{d}x$$

Factorisez la constante à l’aide de \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x.

$$\arctan(h)\int x\mathrm{d}x$$

Dans la mesure où \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pour k\neq -1, remplacez \int x\mathrm{d}x par \frac{x^{2}}{2}.

$$\arctan(h)\times \frac{x^{2}}{2}$$

Simplifier.

$$\frac{\arctan(h)x^{2}}{2}$$

L’intégrale définie est la primitive de l'expression évaluée à la limite supérieure de l’intégration moins la primitive évaluée à la limite inférieure de l’intégration.

$$\frac{1}{2}\arctan(h)\times \left(2\pi \right)^{2}-\frac{1}{2}\arctan(h)\times 0^{2}$$

Simplifier.

$$2\arctan(h)\pi ^{2}$$

Différencier w.r.t. h

$$\frac{2\pi ^{2}}{h^{2}+1}$$