Résoudre ∫ (from 0 to pi) of x*cosnsqrt{pi}x wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { \pi } x \cdot \cos n \sqrt { \pi } x d x$$

Évaluer

$$\frac{\pi ^{\frac{7}{2}}\cos(n)}{3}$$

Étapes de la solution

Multiplier x et x pour obtenir x^{2}.

$$\int _{0}^{\pi }x^{2}\cos(n)\sqrt{\pi }\mathrm{d}x$$

Évaluez l’intégrale indéfinie en premier.

$$\int x^{2}\cos(n)\sqrt{\pi }\mathrm{d}x$$

Factorisez la constante à l’aide de \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x.

$$\cos(n)\sqrt{\pi }\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Dans la mesure où \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pour k\neq -1, remplacez \int x^{2}\mathrm{d}x par \frac{x^{3}}{3}.

$$\cos(n)\sqrt{\pi }\times \frac{x^{3}}{3}$$

Simplifier.

$$\frac{\sqrt{\pi }\cos(n)x^{3}}{3}$$

L’intégrale définie est la primitive de l'expression évaluée à la limite supérieure de l’intégration moins la primitive évaluée à la limite inférieure de l’intégration.

$$\frac{1}{3}\pi ^{\frac{1}{2}}\cos(n)\pi ^{3}-\frac{1}{3}\pi ^{\frac{1}{2}}\cos(n)\times 0^{3}$$

Simplifier.

$$\frac{\cos(n)\pi ^{\frac{7}{2}}}{3}$$

Différencier w.r.t. n

$$-\frac{\pi ^{\frac{7}{2}}\sin(n)}{3}$$