Résoudre ∫ (from - 1 to 1) of (1-y)y wrt y

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 1 - y ) y d y$$

Évaluer

$$-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Étapes de la solution

Utiliser la distributivité pour multiplier 1-y par y.

$$\int _{-1}^{1}y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Évaluez l’intégrale indéfinie en premier.

$$\int y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Intégrez le terme somme par terme.

$$\int y\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y$$

Factorisez la constante dans chaque terme.

$$\int y\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Dans la mesure où \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} pour k\neq -1, remplacez \int y\mathrm{d}y par \frac{y^{2}}{2}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Dans la mesure où \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} pour k\neq -1, remplacez \int y^{2}\mathrm{d}y par \frac{y^{3}}{3}. Multiplier -1 par \frac{y^{3}}{3}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}$$

L’intégrale définie est la primitive de l'expression évaluée à la limite supérieure de l’intégration moins la primitive évaluée à la limite inférieure de l’intégration.

$$\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{3}}{3}-\left(\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}\right)$$

Simplifier.

$$-\frac{2}{3}$$