Résoudre ∫ (3t^3-t^2)^2dt

$$\int ( 3 t ^ { 3 } - t ^ { 2 } ) ^ { 2 } d t$$

Évaluer

$$\frac{9t^{7}}{7}-t^{6}+\frac{t^{5}}{5}+С$$

Étapes de la solution

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(3t^{3}-t^{2}\right)^{2}.

$$\int 9\left(t^{3}\right)^{2}-6t^{3}t^{2}+\left(t^{2}\right)^{2}\mathrm{d}t$$

Pour élever une puissance à une autre puissance, multipliez les exposants. Multipliez 3 par 2 pour obtenir 6.

$$\int 9t^{6}-6t^{3}t^{2}+\left(t^{2}\right)^{2}\mathrm{d}t$$

Pour multiplier les puissances de la même base, additionnez leurs exposants. Additionnez 3 et 2 pour obtenir 5.

$$\int 9t^{6}-6t^{5}+\left(t^{2}\right)^{2}\mathrm{d}t$$

Pour élever une puissance à une autre puissance, multipliez les exposants. Multipliez 2 par 2 pour obtenir 4.

$$\int 9t^{6}-6t^{5}+t^{4}\mathrm{d}t$$

Intégrez le terme somme par terme.

$$\int 9t^{6}\mathrm{d}t+\int -6t^{5}\mathrm{d}t+\int t^{4}\mathrm{d}t$$

Factorisez la constante dans chaque terme.

$$9\int t^{6}\mathrm{d}t-6\int t^{5}\mathrm{d}t+\int t^{4}\mathrm{d}t$$

Dans la mesure où \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} pour k\neq -1, remplacez \int t^{6}\mathrm{d}t par \frac{t^{7}}{7}. Multiplier 9 par \frac{t^{7}}{7}.

$$\frac{9t^{7}}{7}-6\int t^{5}\mathrm{d}t+\int t^{4}\mathrm{d}t$$

Dans la mesure où \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} pour k\neq -1, remplacez \int t^{5}\mathrm{d}t par \frac{t^{6}}{6}. Multiplier -6 par \frac{t^{6}}{6}.

$$\frac{9t^{7}}{7}-t^{6}+\int t^{4}\mathrm{d}t$$

Dans la mesure où \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} pour k\neq -1, remplacez \int t^{4}\mathrm{d}t par \frac{t^{5}}{5}.

$$\frac{9t^{7}}{7}-t^{6}+\frac{t^{5}}{5}$$

Simplifier.

$$\frac{t^{5}}{5}-t^{6}+\frac{9t^{7}}{7}$$

Si F\left(t\right) est une primitive de f\left(t\right), l’ensemble de tous les dérivés de f\left(t\right) est donné par F\left(t\right)+C. Par conséquent, ajoutez la constante de l’intégration C\in \mathrm{R} au résultat.

$$\frac{t^{5}}{5}-t^{6}+\frac{9t^{7}}{7}+С$$

Différencier w.r.t. t

$$\left(3t-1\right)^{2}t^{4}$$