Résoudre ∫ (2x^2+3)^3 wrt x

$$\int ( 2 x ^ { 2 } + 3 ) ^ { 3 } d x$$

Évaluer

$$\frac{8x^{7}}{7}+\frac{36x^{5}}{5}+18x^{3}+27x+С$$

Étapes de la solution

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} pour développer \left(2x^{2}+3\right)^{3}.

$$\int 8\left(x^{2}\right)^{3}+36\left(x^{2}\right)^{2}+54x^{2}+27\mathrm{d}x$$

Pour élever une puissance à une autre puissance, multipliez les exposants. Multipliez 2 par 3 pour obtenir 6.

$$\int 8x^{6}+36\left(x^{2}\right)^{2}+54x^{2}+27\mathrm{d}x$$

Pour élever une puissance à une autre puissance, multipliez les exposants. Multipliez 2 par 2 pour obtenir 4.

$$\int 8x^{6}+36x^{4}+54x^{2}+27\mathrm{d}x$$

Intégrez le terme somme par terme.

$$\int 8x^{6}\mathrm{d}x+\int 36x^{4}\mathrm{d}x+\int 54x^{2}\mathrm{d}x+\int 27\mathrm{d}x$$

Factorisez la constante dans chaque terme.

$$8\int x^{6}\mathrm{d}x+36\int x^{4}\mathrm{d}x+54\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 27\mathrm{d}x$$

Dans la mesure où \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pour k\neq -1, remplacez \int x^{6}\mathrm{d}x par \frac{x^{7}}{7}. Multiplier 8 par \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{8x^{7}}{7}+36\int x^{4}\mathrm{d}x+54\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 27\mathrm{d}x$$

Dans la mesure où \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pour k\neq -1, remplacez \int x^{4}\mathrm{d}x par \frac{x^{5}}{5}. Multiplier 36 par \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{8x^{7}}{7}+\frac{36x^{5}}{5}+54\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 27\mathrm{d}x$$

Dans la mesure où \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pour k\neq -1, remplacez \int x^{2}\mathrm{d}x par \frac{x^{3}}{3}. Multiplier 54 par \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{8x^{7}}{7}+\frac{36x^{5}}{5}+18x^{3}+\int 27\mathrm{d}x$$

Trouver l’intégralité de 27 à l’aide du tableau de la règle des intégraux communs \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{8x^{7}}{7}+\frac{36x^{5}}{5}+18x^{3}+27x$$

Simplifier.

$$27x+18x^{3}+\frac{36x^{5}}{5}+\frac{8x^{7}}{7}$$

Si F\left(x\right) est une primitive de f\left(x\right), l’ensemble de tous les dérivés de f\left(x\right) est donné par F\left(x\right)+C. Par conséquent, ajoutez la constante de l’intégration C\in \mathrm{R} au résultat.

$$27x+18x^{3}+\frac{36x^{5}}{5}+\frac{8x^{7}}{7}+С$$

Différencier w.r.t. x

$$\left(2x^{2}+3\right)^{3}$$