Résoudre ∫ [a^2-5a+6/a^2+7a+6:(2a+10/a+1-a-1)+1/a+3]*2a^2+5a-3/2a^2

$$\int [ \frac { a ^ { 2 } - 5 a + 6 } { a ^ { 2 } + 7 a + 6 } : ( \frac { 2 a + 10 } { a + 1 } - a - 1 ) + \frac { 1 } { a + 3 } ] \cdot \frac { 2 a ^ { 2 } + 5 a - 3 } { 2 a ^ { 2 } }$$

Évaluer

$$\frac{8ax-4x}{\left(a+6\right)a^{2}}+С$$

Étapes de la solution

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Multiplier -a-1 par \frac{a+1}{a+1}.

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10}{a+1}+\frac{\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Étant donné que \frac{2a+10}{a+1} et \frac{\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1} ont un dénominateur commun, additionnez-les en additionnant leur numérateur.

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10+\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Effectuez les multiplications dans 2a+10+\left(-a-1\right)\left(a+1\right).

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10-a^{2}-a-a-1}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Combiner des termes semblables dans 2a+10-a^{2}-a-a-1.

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{9-a^{2}}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Diviser \frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6} par \frac{9-a^{2}}{a+1} en multipliant \frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6} par la réciproque de \frac{9-a^{2}}{a+1}.

$$\int \left(\frac{\left(a^{2}-5a+6\right)\left(a+1\right)}{\left(a^{2}+7a+6\right)\left(9-a^{2}\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Mettez en facteur les expressions qui ne sont pas encore factorisées dans \frac{\left(a^{2}-5a+6\right)\left(a+1\right)}{\left(a^{2}+7a+6\right)\left(9-a^{2}\right)}.

$$\int \left(\frac{\left(a-3\right)\left(a-2\right)\left(a+1\right)}{\left(a-3\right)\left(-a-3\right)\left(a+1\right)\left(a+6\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Annuler \left(a-3\right)\left(a+1\right) dans le numérateur et le dénominateur.

$$\int \left(\frac{a-2}{\left(-a-3\right)\left(a+6\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Le plus petit dénominateur commun de \left(-a-3\right)\left(a+6\right) et a+3 est \left(a+3\right)\left(a+6\right). Multiplier \frac{a-2}{\left(-a-3\right)\left(a+6\right)} par \frac{-1}{-1}. Multiplier \frac{1}{a+3} par \frac{a+6}{a+6}.

$$\int \left(\frac{-\left(a-2\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}+\frac{a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Étant donné que \frac{-\left(a-2\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} et \frac{a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} ont un dénominateur commun, additionnez-les en additionnant leur numérateur.

$$\int \frac{-\left(a-2\right)+a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Effectuez les multiplications dans -\left(a-2\right)+a+6.

$$\int \frac{-a+2+a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Combiner des termes semblables dans -a+2+a+6.

$$\int \frac{8}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Multiplier \frac{8}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} par \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur.

$$\int \frac{8\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)\times 2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Annuler 2 dans le numérateur et le dénominateur.

$$\int \frac{4\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

Mettez en facteur les expressions qui ne sont pas encore factorisées dans \frac{4\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}.

$$\int \frac{4\left(2a-1\right)\left(a+3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

Annuler a+3 dans le numérateur et le dénominateur.

$$\int \frac{4\left(2a-1\right)}{\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par 2a-1.

$$\int \frac{8a-4}{\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

Utiliser la distributivité pour multiplier a+6 par a^{2}.

$$\int \frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}}\mathrm{d}x$$

Trouver l’intégralité de \frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}} à l’aide du tableau de la règle des intégraux communs \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}}x$$

Simplifier.

$$\frac{\left(8a-4\right)x}{a^{3}+6a^{2}}$$

Si F\left(x\right) est une primitive de f\left(x\right), l’ensemble de tous les dérivés de f\left(x\right) est donné par F\left(x\right)+C. Par conséquent, ajoutez la constante de l’intégration C\in \mathrm{R} au résultat.

$$\frac{\left(8a-4\right)x}{a^{3}+6a^{2}}+С$$

Différencier w.r.t. x

$$\frac{4\left(2a-1\right)}{\left(a+6\right)a^{2}}$$