Résoudre d/dxleft(sin(x)right)

$$\frac{d}{d x } \left( \sin ( x ) \right)$$

Évaluer

$$\cos(x)$$

Étapes d’utilisation de la définition d’une dérivée

Pour une fonction f\left(x\right), la dérivée est la limite de \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} car h passe à 0, si cette limite existe.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\right)$$

Utiliser la formule de somme pour le sinus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$$

Exclure \sin(x).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}$$

Réécrire la limite.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Utiliser le fait que x est une constante lors du calcul des limites tandis que h passe à 0.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

La limite de \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} est 1.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)$$

Pour évaluer la limite \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, commencez par multiplier le numérateur et le dénominateur par \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Multiplier \cos(h)+1 par \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Utiliser l’identité de Pythagore.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Réécrire la limite.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

La limite de \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} est 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Utiliser le fait que \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} est continu à 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Substituer la valeur 0 dans l’expression \sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x).

$$\cos(x)$$

Différencier w.r.t. x

$$-\sin(x)$$