Résoudre x-1/x-2geq3/4-2x

$$\frac{ x-1 }{ x-2 } \geq \frac{ 3 }{ 4-2x }$$

Calculer x

$$x\in (-\infty,-\frac{1}{2}]\cup (2,\infty)$$

Étapes de la solution

Soustraire \frac{3}{4-2x} des deux côtés.

$$\frac{x-1}{x-2}-\frac{3}{4-2x}\geq 0$$

Factoriser 4-2x.

$$\frac{x-1}{x-2}-\frac{3}{2\left(-x+2\right)}\geq 0$$

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Le plus petit dénominateur commun de x-2 et 2\left(-x+2\right) est 2\left(x-2\right). Multiplier \frac{x-1}{x-2} par \frac{2}{2}. Multiplier \frac{3}{2\left(-x+2\right)} par \frac{-1}{-1}.

$$\frac{2\left(x-1\right)}{2\left(x-2\right)}-\frac{3\left(-1\right)}{2\left(x-2\right)}\geq 0$$

Étant donné que \frac{2\left(x-1\right)}{2\left(x-2\right)} et \frac{3\left(-1\right)}{2\left(x-2\right)} ont un dénominateur commun, soustrayez-les en soustrayant leur numérateur.

$$\frac{2\left(x-1\right)-3\left(-1\right)}{2\left(x-2\right)}\geq 0$$

Effectuez les multiplications dans 2\left(x-1\right)-3\left(-1\right).

$$\frac{2x-2+3}{2\left(x-2\right)}\geq 0$$

Combiner des termes semblables dans 2x-2+3.

$$\frac{2x+1}{2\left(x-2\right)}\geq 0$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2 par x-2.

$$\frac{2x+1}{2x-4}\geq 0$$

Pour que le quotient soit ≥0, 2x+1 et 2x-4 doivent être les deux ≤0 ou les deux ≥0, et 2x-4 ne peut pas être égal à zéro. Examinons le cas lorsque 2x+1\leq 0 et 2x-4 est négatif.

$$2x+1\leq 0 2x-4<0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x\leq -\frac{1}{2}.

$$x\leq -\frac{1}{2}$$

Examinons le cas lorsque 2x+1\geq 0 et 2x-4 est positif.

$$2x+1\geq 0 2x-4>0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x>2.

$$x>2$$

La solution finale est l’union des solutions obtenues.

$$x\leq -\frac{1}{2}\text{; }x>2$$