Résoudre x-1/2x+1=2x+1/x-1+3

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

Calculer x

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0,434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0,767591879$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -\frac{1}{2},1 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-1\right)\left(2x+1\right), le plus petit commun multiple de 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplier x-1 et x-1 pour obtenir \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplier 2x+1 et 2x+1 pour obtenir \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Utilisez la distributivité pour multiplier x-1 par 2x+1 et combiner les termes semblables.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2x^{2}-x-1 par 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Combiner 4x^{2} et 6x^{2} pour obtenir 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Combiner 4x et -3x pour obtenir x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Soustraire 3 de 1 pour obtenir -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Soustraire 10x^{2} des deux côtés.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Combiner x^{2} et -10x^{2} pour obtenir -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Soustraire x des deux côtés.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Combiner -2x et -x pour obtenir -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Ajouter 2 aux deux côtés.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

Additionner 1 et 2 pour obtenir 3.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -9 à a, -3 à b et 3 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Calculer le carré de -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplier -4 par -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplier 36 par 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

Additionner 9 et 108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

Extraire la racine carrée de 117.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

L’inverse de -3 est 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplier 2 par -9.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} lorsque ± est positif. Additionner 3 et 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

Diviser 3+3\sqrt{13} par -18.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} lorsque ± est négatif. Soustraire 3\sqrt{13} à 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

Diviser 3-3\sqrt{13} par -18.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Étapes de l’élévation au carré

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -\frac{1}{2},1 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-1\right)\left(2x+1\right), le plus petit commun multiple de 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplier x-1 et x-1 pour obtenir \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplier 2x+1 et 2x+1 pour obtenir \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Utilisez la distributivité pour multiplier x-1 par 2x+1 et combiner les termes semblables.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2x^{2}-x-1 par 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Combiner 4x^{2} et 6x^{2} pour obtenir 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Combiner 4x et -3x pour obtenir x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Soustraire 3 de 1 pour obtenir -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Soustraire 10x^{2} des deux côtés.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Combiner x^{2} et -10x^{2} pour obtenir -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Soustraire x des deux côtés.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Combiner -2x et -x pour obtenir -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Soustraire 1 des deux côtés.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

Soustraire 1 de -2 pour obtenir -3.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

Divisez les deux côtés par -9.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

La division par -9 annule la multiplication par -9.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

Réduire la fraction \frac{-3}{-9} au maximum en extrayant et en annulant 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

Réduire la fraction \frac{-3}{-9} au maximum en extrayant et en annulant 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

Divisez \frac{1}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{6}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{6} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{6} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Additionner \frac{1}{3} et \frac{1}{36} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Soustraire \frac{1}{6} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$