Résoudre 8x/sqrt{2x^2+1}

$$\frac{ 8x }{ \sqrt{ 2 } { x }^{ 2 } +1 }$$

Évaluer

$$\frac{8x}{\sqrt{2}x^{2}+1}$$

Résumé des étapes de la solution

Rationaliser le dénominateur de \frac{8x}{\sqrt{2}x^{2}+1} en multipliant le numérateur et le dénominateur par \sqrt{2}x^{2}-1.

$$\frac{8x\left(\sqrt{2}x^{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}x^{2}+1\right)\left(\sqrt{2}x^{2}-1\right)}$$

Considérer \left(\sqrt{2}x^{2}+1\right)\left(\sqrt{2}x^{2}-1\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{8x\left(\sqrt{2}x^{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}x^{2}\right)^{2}-1^{2}}$$

Étendre \left(\sqrt{2}x^{2}\right)^{2}.

$$\frac{8x\left(\sqrt{2}x^{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(x^{2}\right)^{2}-1^{2}}$$

Pour élever une puissance à une autre puissance, multipliez les exposants. Multipliez 2 par 2 pour obtenir 4.

$$\frac{8x\left(\sqrt{2}x^{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{4}-1^{2}}$$

Le carré de \sqrt{2} est 2.

$$\frac{8x\left(\sqrt{2}x^{2}-1\right)}{2x^{4}-1^{2}}$$

Calculer 1 à la puissance 2 et obtenir 1.

$$\frac{8x\left(\sqrt{2}x^{2}-1\right)}{2x^{4}-1}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 8x par \sqrt{2}x^{2}-1.

$$\frac{8\sqrt{2}x^{3}-8x}{2x^{4}-1}$$

Différencier w.r.t. x

$$\frac{8\left(-\sqrt{2}x^{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}x^{2}+1\right)^{2}}$$

Étapes d’utilisation de la règle de dérivation pour le quotient

Rationaliser le dénominateur de \frac{8x}{\sqrt{2}x^{2}+1} en multipliant le numérateur et le dénominateur par \sqrt{2}x^{2}-1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{8x\left(\sqrt{2}x^{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}x^{2}+1\right)\left(\sqrt{2}x^{2}-1\right)})$$

Considérer \left(\sqrt{2}x^{2}+1\right)\left(\sqrt{2}x^{2}-1\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{8x\left(\sqrt{2}x^{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}x^{2}\right)^{2}-1^{2}})$$

Étendre \left(\sqrt{2}x^{2}\right)^{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{8x\left(\sqrt{2}x^{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(x^{2}\right)^{2}-1^{2}})$$

Pour élever une puissance à une autre puissance, multipliez les exposants. Multipliez 2 par 2 pour obtenir 4.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{8x\left(\sqrt{2}x^{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{4}-1^{2}})$$

Le carré de \sqrt{2} est 2.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{8x\left(\sqrt{2}x^{2}-1\right)}{2x^{4}-1^{2}})$$

Calculer 1 à la puissance 2 et obtenir 1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{8x\left(\sqrt{2}x^{2}-1\right)}{2x^{4}-1})$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 8x par \sqrt{2}x^{2}-1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{8\sqrt{2}x^{3}-8x}{2x^{4}-1})$$

Pour deux fonctions dérivables, la dérivée du quotient des deux fonctions est le dénominateur fois la dérivée du numérateur moins le numérateur fois la dérivée du dénominateur, le tout divisé par le dénominateur au carré.

$$\frac{\left(2x^{4}-1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(8\sqrt{2}x^{3}-8x^{1})-\left(8\sqrt{2}x^{3}-8x^{1}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{4}-1)}{\left(2x^{4}-1\right)^{2}}$$

La dérivée d’un polynôme est la somme des dérivées de ses termes. La dérivée d’un terme constant est 0. La dérivée de ax^{n} est nax^{n-1}.

$$\frac{\left(2x^{4}-1\right)\left(3\times 8\sqrt{2}x^{3-1}-8x^{1-1}\right)-\left(8\sqrt{2}x^{3}-8x^{1}\right)\times 4\times 2x^{4-1}}{\left(2x^{4}-1\right)^{2}}$$

Simplifier.

$$\frac{\left(2x^{4}-1\right)\left(24\sqrt{2}x^{2}-8x^{0}\right)-\left(8\sqrt{2}x^{3}-8x^{1}\right)\times 8x^{3}}{\left(2x^{4}-1\right)^{2}}$$

Multiplier 2x^{4}-1 par 24\sqrt{2}x^{2}-8x^{0}.

$$\frac{2x^{4}\times 24\sqrt{2}x^{2}+2x^{4}\left(-8\right)x^{0}-24\sqrt{2}x^{2}-\left(-8x^{0}\right)-\left(8\sqrt{2}x^{3}-8x^{1}\right)\times 8x^{3}}{\left(2x^{4}-1\right)^{2}}$$

Multiplier 8\sqrt{2}x^{3}-8x^{1} par 8x^{3}.

$$\frac{2x^{4}\times 24\sqrt{2}x^{2}+2x^{4}\left(-8\right)x^{0}-24\sqrt{2}x^{2}-\left(-8x^{0}\right)-\left(8\sqrt{2}x^{3}\times 8x^{3}-8x^{1}\times 8x^{3}\right)}{\left(2x^{4}-1\right)^{2}}$$

Pour multiplier les puissances de la même base, additionnez leurs exposants.

$$\frac{2\times 24\sqrt{2}x^{4+2}+2\left(-8\right)x^{4}-24\sqrt{2}x^{2}-\left(-8x^{0}\right)-\left(8\sqrt{2}\times 8x^{3+3}-8\times 8x^{1+3}\right)}{\left(2x^{4}-1\right)^{2}}$$

Simplifier.

$$\frac{48\sqrt{2}x^{6}-16x^{4}+\left(-24\sqrt{2}\right)x^{2}+8x^{0}-\left(64\sqrt{2}x^{6}-64x^{4}\right)}{\left(2x^{4}-1\right)^{2}}$$

Combiner des termes semblables.

$$\frac{\left(-16\sqrt{2}\right)x^{6}+48x^{4}+\left(-24\sqrt{2}\right)x^{2}+8x^{0}}{\left(2x^{4}-1\right)^{2}}$$

Pour n’importe quel terme t à l’exception de 0, t^{0}=1.

$$\frac{\left(-16\sqrt{2}\right)x^{6}+48x^{4}+\left(-24\sqrt{2}\right)x^{2}+8\times 1}{\left(2x^{4}-1\right)^{2}}$$

Pour n’importe quel terme t, t\times 1=t et 1t=t.

$$\frac{\left(-16\sqrt{2}\right)x^{6}+48x^{4}+\left(-24\sqrt{2}\right)x^{2}+8}{\left(2x^{4}-1\right)^{2}}$$