Résoudre 400/x+20+400/52/x+20+frac{400/53}{x}=11

$$\frac{ 400 }{ x+20 } + \frac{ \frac{ 400 }{ 5 } 2 }{ x+20 } + \frac{ \frac{ 400 }{ 5 } 3 }{ x } = 11$$

Calculer x

$$x = -\frac{80}{11} = -7\frac{3}{11} \approx -7,272727273$$

$$x=60$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -20,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par x\left(x+20\right), le plus petit commun multiple de x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Diviser 400 par 5 pour obtenir 80.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Multiplier 80 et 2 pour obtenir 160.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Combiner x\times 400 et x\times 160 pour obtenir 560x.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Diviser 400 par 5 pour obtenir 80.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Multiplier 80 et 3 pour obtenir 240.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x+20 par 240.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Combiner 560x et 240x pour obtenir 800x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 11x par x+20.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Soustraire 11x^{2} des deux côtés.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Soustraire 220x des deux côtés.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

Combiner 800x et -220x pour obtenir 580x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$-11x^{2}+580x+4800=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -11x^{2}+ax+bx+4800. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=580 ab=-11\times 4800=-52800$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -52800.

$$-1,52800 -2,26400 -3,17600 -4,13200 -5,10560 -6,8800 -8,6600 -10,5280 -11,4800 -12,4400 -15,3520 -16,3300 -20,2640 -22,2400 -24,2200 -25,2112 -30,1760 -32,1650 -33,1600 -40,1320 -44,1200 -48,1100 -50,1056 -55,960 -60,880 -64,825 -66,800 -75,704 -80,660 -88,600 -96,550 -100,528 -110,480 -120,440 -132,400 -150,352 -160,330 -165,320 -176,300 -192,275 -200,264 -220,240$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+52800=52799 -2+26400=26398 -3+17600=17597 -4+13200=13196 -5+10560=10555 -6+8800=8794 -8+6600=6592 -10+5280=5270 -11+4800=4789 -12+4400=4388 -15+3520=3505 -16+3300=3284 -20+2640=2620 -22+2400=2378 -24+2200=2176 -25+2112=2087 -30+1760=1730 -32+1650=1618 -33+1600=1567 -40+1320=1280 -44+1200=1156 -48+1100=1052 -50+1056=1006 -55+960=905 -60+880=820 -64+825=761 -66+800=734 -75+704=629 -80+660=580 -88+600=512 -96+550=454 -100+528=428 -110+480=370 -120+440=320 -132+400=268 -150+352=202 -160+330=170 -165+320=155 -176+300=124 -192+275=83 -200+264=64 -220+240=20$$

La solution est la paire qui donne la somme 580.

$$a=660 b=-80$$

Réécrire -11x^{2}+580x+4800 en tant qu’\left(-11x^{2}+660x\right)+\left(-80x+4800\right).

$$\left(-11x^{2}+660x\right)+\left(-80x+4800\right)$$

Factorisez 11x du premier et 80 dans le deuxième groupe.

$$11x\left(-x+60\right)+80\left(-x+60\right)$$

Factoriser le facteur commun -x+60 en utilisant la distributivité.

$$\left(-x+60\right)\left(11x+80\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez -x+60=0 et 11x+80=0.

$$x=60 x=-\frac{80}{11}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -20,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par x\left(x+20\right), le plus petit commun multiple de x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Diviser 400 par 5 pour obtenir 80.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Multiplier 80 et 2 pour obtenir 160.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Combiner x\times 400 et x\times 160 pour obtenir 560x.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Diviser 400 par 5 pour obtenir 80.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Multiplier 80 et 3 pour obtenir 240.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x+20 par 240.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Combiner 560x et 240x pour obtenir 800x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 11x par x+20.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Soustraire 11x^{2} des deux côtés.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Soustraire 220x des deux côtés.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

Combiner 800x et -220x pour obtenir 580x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-11x^{2}+580x+4800=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -11 à a, 580 à b et 4800 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-580±\sqrt{580^{2}-4\left(-11\right)\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Calculer le carré de 580.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400-4\left(-11\right)\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Multiplier -4 par -11.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400+44\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Multiplier 44 par 4800.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400+211200}}{2\left(-11\right)}$$

Additionner 336400 et 211200.

$$x=\frac{-580±\sqrt{547600}}{2\left(-11\right)}$$

Extraire la racine carrée de 547600.

$$x=\frac{-580±740}{2\left(-11\right)}$$

Multiplier 2 par -11.

$$x=\frac{-580±740}{-22}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-580±740}{-22} lorsque ± est positif. Additionner -580 et 740.

$$x=\frac{160}{-22}$$

Réduire la fraction \frac{160}{-22} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{80}{11}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-580±740}{-22} lorsque ± est négatif. Soustraire 740 à -580.

$$x=-\frac{1320}{-22}$$

Diviser -1320 par -22.

$$x=60$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-\frac{80}{11} x=60$$

Étapes de l’élévation au carré

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -20,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par x\left(x+20\right), le plus petit commun multiple de x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Diviser 400 par 5 pour obtenir 80.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Multiplier 80 et 2 pour obtenir 160.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Combiner x\times 400 et x\times 160 pour obtenir 560x.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Diviser 400 par 5 pour obtenir 80.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Multiplier 80 et 3 pour obtenir 240.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x+20 par 240.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Combiner 560x et 240x pour obtenir 800x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 11x par x+20.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Soustraire 11x^{2} des deux côtés.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Soustraire 220x des deux côtés.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

Combiner 800x et -220x pour obtenir 580x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Soustraire 4800 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$580x-11x^{2}=-4800$$

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-11x^{2}+580x=-4800$$

Divisez les deux côtés par -11.

$$\frac{-11x^{2}+580x}{-11}=-\frac{4800}{-11}$$

La division par -11 annule la multiplication par -11.

$$x^{2}+\frac{580}{-11}x=-\frac{4800}{-11}$$

Diviser 580 par -11.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x=-\frac{4800}{-11}$$

Diviser -4800 par -11.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x=\frac{4800}{11}$$

Divisez -\frac{580}{11}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{290}{11}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{290}{11} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\left(-\frac{290}{11}\right)^{2}=\frac{4800}{11}+\left(-\frac{290}{11}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{290}{11} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}=\frac{4800}{11}+\frac{84100}{121}$$

Additionner \frac{4800}{11} et \frac{84100}{121} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}=\frac{136900}{121}$$

Factor x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{290}{11}\right)^{2}=\frac{136900}{121}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{290}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{136900}{121}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{290}{11}=\frac{370}{11} x-\frac{290}{11}=-\frac{370}{11}$$

Ajouter \frac{290}{11} aux deux côtés de l’équation.

$$x=60 x=-\frac{80}{11}$$