Résoudre frac{3{left(sqrt{3}-4right)}^2+5left(sqrt{3}-4right)+2}{2left(sqrt{3}-4right)}

$$\frac{ 3 { \left( \sqrt{ 3 } -4 \right) }^{ 2 } +5 \left( \sqrt{ 3 } -4 \right) +2 }{ 2 \left( \sqrt{ 3 } -4 \right) }$$

Évaluer

$$\frac{37\sqrt{3}-99}{26}\approx -1,342850774$$

Étapes de la solution

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{3}-4\right)^{2}.

$$\frac{3\left(\left(\sqrt{3}\right)^{2}-8\sqrt{3}+16\right)+5\left(\sqrt{3}-4\right)+2}{2\left(\sqrt{3}-4\right)}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\frac{3\left(3-8\sqrt{3}+16\right)+5\left(\sqrt{3}-4\right)+2}{2\left(\sqrt{3}-4\right)}$$

Additionner 3 et 16 pour obtenir 19.

$$\frac{3\left(19-8\sqrt{3}\right)+5\left(\sqrt{3}-4\right)+2}{2\left(\sqrt{3}-4\right)}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 3 par 19-8\sqrt{3}.

$$\frac{57-24\sqrt{3}+5\left(\sqrt{3}-4\right)+2}{2\left(\sqrt{3}-4\right)}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 5 par \sqrt{3}-4.

$$\frac{57-24\sqrt{3}+5\sqrt{3}-20+2}{2\left(\sqrt{3}-4\right)}$$

Combiner -24\sqrt{3} et 5\sqrt{3} pour obtenir -19\sqrt{3}.

$$\frac{57-19\sqrt{3}-20+2}{2\left(\sqrt{3}-4\right)}$$

Soustraire 20 de 57 pour obtenir 37.

$$\frac{37-19\sqrt{3}+2}{2\left(\sqrt{3}-4\right)}$$

Additionner 37 et 2 pour obtenir 39.

$$\frac{39-19\sqrt{3}}{2\left(\sqrt{3}-4\right)}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2 par \sqrt{3}-4.

$$\frac{39-19\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-8}$$

Rationaliser le dénominateur de \frac{39-19\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-8} en multipliant le numérateur et le dénominateur par 2\sqrt{3}+8.

$$\frac{\left(39-19\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}+8\right)}{\left(2\sqrt{3}-8\right)\left(2\sqrt{3}+8\right)}$$

Considérer \left(2\sqrt{3}-8\right)\left(2\sqrt{3}+8\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(39-19\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}+8\right)}{\left(2\sqrt{3}\right)^{2}-8^{2}}$$

Étendre \left(2\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(39-19\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}+8\right)}{2^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}-8^{2}}$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$\frac{\left(39-19\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}+8\right)}{4\left(\sqrt{3}\right)^{2}-8^{2}}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\frac{\left(39-19\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}+8\right)}{4\times 3-8^{2}}$$

Multiplier 4 et 3 pour obtenir 12.

$$\frac{\left(39-19\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}+8\right)}{12-8^{2}}$$

Calculer 8 à la puissance 2 et obtenir 64.

$$\frac{\left(39-19\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}+8\right)}{12-64}$$

Soustraire 64 de 12 pour obtenir -52.

$$\frac{\left(39-19\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}+8\right)}{-52}$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 39-19\sqrt{3} par 2\sqrt{3}+8 et combiner les termes semblables.

$$\frac{-74\sqrt{3}+312-38\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{-52}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\frac{-74\sqrt{3}+312-38\times 3}{-52}$$

Multiplier -38 et 3 pour obtenir -114.

$$\frac{-74\sqrt{3}+312-114}{-52}$$

Soustraire 114 de 312 pour obtenir 198.

$$\frac{-74\sqrt{3}+198}{-52}$$